장음표시 사용
121쪽
Proposilio .12.3 a diuobus numeris sin mas proportiones dilo numeri detrahantur. erit portio reliqui ad re iquum tanu, pisportio totius ad totum.
CQuod proposuit Euclidesin.10.qnti de qualitatibiurgenereipponit hic denueris. a Ulli Atyportio totius.
te est a.b. per diffini tionem igitur erit portio una: qd est propolitum. TQ dii a sit maior. b. erit p primam ptem pinisse quota ps aut piesh a.
g.S.hec enim sola sambe ille continet. Uolunt aut sitam ςcdam par tem huiuς Mare p.rs. qumri et ted si hoc intenderet Euclides: cum illatimnat pnicul iterqd illa uniuersaliter uane illa demonstrata in qntono hac hic in septimb Et gait non demonstrat eam simpli p M.quiti. At uero nec modum demostrationis illius mutat ranare ad demostrationem huiuscumilla demonstreε in quatitatibus in genere.p Nor tionalitatem pinutatam q in adem sinat iri numms. Existimo missroabiliterconuinci Euclidemque mirum demostratoris arithmetici: gla decimi in quo sine numero; aliqua precognitioetrasire non poterat con lassemere. CIdcirco plurimaeotaque in quinto de quantita 'bus in genere demonstrauit.hic repetere demonstranda de numeris: p alia pncipia propria uidelicet numer i qmvis nota simi intellectui qea per que proce sit in quinto ipsa demonstrare intendit: incipia enim quinti propter malictam quatitatum incomimicantium dissicilia sunt tisincipia iuro numerorum magis ultro fe inteste cini applicannycilius
si illa. Egent enim illa intellectu magis disposito. Dropositio . I3.3suerint quotlibet numeri proportionales quan tuserit mus antecedens ad stium consequentem: mali et mn tota autecedetes pariter accepti ad omnes consequeiates pariter acceptos EQuod isonit Euclides p. 3.quinti de quantitatibus in Diere nonit 2 hanc denumeris. CVti sint a b.ff.c
aepositio .1443suerint quattuor nunieri proportiona est periamtatim quom portioliati erunt.
Modum arguendi qui dicitur proportionalitas permutata quam demonstrauit Euclides perir6.quinti in quantitatisus in generet nonir hie demonstrata innumeriti
122쪽
portionem onmii Duoriam ex posteriori dias uili in Iproportione ualitatis proportionales et unt
CModum arguendi qui dicitur equa proportionalitas M IGNI quamdem Rauit Euclides periri. quinti de quanti talibus in genere setoponit hic demonstrandum in numeris directe proportionalitatis , CEquam autem proportionalitatem quam de rinon grauitper.M.quinti de quantitatibus indirecte proportionalitatis non proponit demonstiadum in numeri :=d eam demonstrabimus instas . .huius. CNec est necessarium ut Nemonstrenam in numeris quod demo' a turn φ p.r t. inti de quantitatibus in genere uidelicet Ii quonibet proportiones in numeris luerint mi equales uel eedem ipsas e sibi equales uel easdem. oc enim mani stiam estp diffinitionem
per eandem δε ad e.sicut. c.ad f. Idem erit sumptis pluribus. CSic constat propositum.CQ uoniam autem Euclides ceteras quatuor specie; proportiori iratisque sint conuersa: coniuncta: disiunctareuerni: n5 proponitdemonstrandas in numeris conueniens arbitramur eas quas auctor tangscicile demori rabilet pretermisit dena agrare.CPrimumita' demonstrabimur conuersanuulsi sit .aad.b.sicut ciad.d. dico g, erit
Diminctam pruportionalitatem os edere
123쪽
Eueram Noportioiraeitatein restat in numeris stadissim.
leue est demonstrare innumeris p Euclidri proponit perit quinti de quantitatibus in genere uidelicet Φ. α Si pro alio primi ad se
ciuidum merit sicut terti, ad artunaqmntiquom adimanda sicut sexti ad quartum: erit portio primi et quinti pariter a ce rum ad secundum sicut terri et sexti ad quartum.
Polirum.7 Ex hoc v manifestum est lilii erit proportio quotlibet
numero ad primum sicut totidem alioyad secundu.mt aggregati ex orbus antecedentibuς ad pinum ad primumiscuta sumi ex olbus aritecedentibuς adsecudum: ad Iecudv.T I te ecouer' si fueritproportio primi ad quotlibet numeros sciit Ireudi ad toride aliosterit primi ad agi gatum ex omnibus consequentibus ad ipsum: sicut Prandi ad aggregatu ex omnibus conjequentibus ad inum.
a C Et hoc quia temper habentur.6.numeri.qων minus ad stoendum sicut trectus ad quartust quintus ad lecudum:liait status ad quartui si sic primus si quintus dicuntur antecedentes ad se dumist tertius fisiextruantecedetes ad quartu: g sic eidni eo , coiequentes .fito aggregatu ex primo egrito fit unus numerus Camegam ex tertio gratnt aliut fi iure rivi accipit unuς alius numerus p gnto ad primu:fillud aggregatu br o primo ad secundust unus alius pro tertio ad quarium:gillud aggregatu habet pro Dcto e sic in infinitum fieco fov.fipatet cormarium.
'inis filio .I6.3 numeret unitas aliquem numeriam quotietas quilibet tertius aliquem quartum:erit quom permutatim vi quotiens unitas immerat tertium totietas se duo numcint quartum.
CVtii sit imitas ad.a.sicut.b ad.cirrit pinnulatim unitas ad b.sicut a.ad c. No si fluit aut hec demonstrata γε mutata portionemo enim ex illa pote occludi quod hic poni--Nam illa demonstrata est d&4. numeris Nortionalis :unitas uero no e numerus per distinitione.WHoc ergo mo pateat propositum. E Diuidata p unitates g .c.fm quantitate.b. Ni per prelmte ypothe. tot partes a quot c.CEt quiametque partiu.a.e unitas lunaq* ptium. ee Eς.b.intutquotierisimitas in.b toties unaque piiu.a. in sua copari raptibus.c.EPer modu ita , demo strationis .f. uet toties esse.a.I. quotiensimitas in b.quod est ypositum.
3 ducatam numerorum vici cs ducatur in cite qui inde productamireriant equa .
124쪽
Dispositio . IS. -um Iulius numerus in duos ducunmtatus erit uoi inde a ductoriani alter ad alterum et quantus
et D conuersione antecedentis premisse cochmitur bee de passioque in premissi. TVt si uteret duorum me
CPotes aut qdφponit p Megpremissam de duobus numis ad quotlibet numeroς ampliaitaria uod si imi multiplicet quotlibet erit uErom g multiplicatogdium Nortio.TSimiliter quo sit quotlibremultiplicent unu erit Niictorum e multiplicatiu una oportio. UQuod p haest premissam quotiens pomicilirepetitas 'cile babis. THic aut sis polliciti 'muς demonstrare uolitanus equar rtionalitate in quot libet numeri; ducitii ordinum indirecte portionalitatis quam demonstrat Euclidrep.ri. quinti inquantitatibus in genereidicimus igiturqm.
vispositis. O. Oerint quanior mamm mportionalas quod ex
me uri ductu primi in vitini ucetur e si erit ci quod Im Num lex dum lacudi interitu Si vero quod ex primo est ei quod ex insido ili
minieri simia portior alem. at . Quod proposiit Euclides perciis isti de quam linei proportionalibus: pro nithiade quatuor numeriς propraetrioalibus uerbi gratia. T Sit proportio.a.ad.b. sicut. c. ad d. fiat ex iri. d. e. e b in. c. f. dico z.e. s.ffiant equales: fictorate i. TLucatur enim
125쪽
igit t.f. e. e.quod est simum Z Nec oportet pdemonstrare si v ius numeri ad duos sit una proportio. ipsistitit erilenantii ipsistini equales unius adipyssit una proportio. TSi enim est una proportio Dad. e.
ad fauti e erit tota pars vel pactes. e. quota vel quote id est fg tunc percomationem patet.αε Les, les. TΑut toties.g. continebit. e. quotiens.fTEt iustuenti neci tota pars Vel plene.quota vel quote in eodesu fuerit. L 1 tune et per e ceptionem patet eos en equaleς. TQuod si ipsi fuerint equaleς-et percon tionem aut g. erit tota pars vel strene. ora vὐ quore .g tune per dissinitionem erit inuas Iad virmari eorum proportio una TR ut equaliter continebit v goem stiperii uitate similium g tot num partium: ε tue etia per divinitione citi eius ad utrum proportio na. CSecudum sic patet: sit. e. odia ex .a. md.eFalis.f. producto . b. in . c. dico opportio a. ad. b. est sicuti c. ad .d. V ted hec conuersic prime partis. TSit enim ut prius g. qui fit .a. t.b. si quia. e.fff.sunt equales. erit. g. Vtrunq eorum proportio una: 1 quia
clides de tritas numeris cotinue proportionalibus stille qui ex ductum mi in tertium producitur sit ualit quadrato medii. Et si ille qui ex pri mo in tertium producitur si erit equalis quadrato mediit in illi tres numerisint confiiive proporreonales sicut proponitin. Io. Detiae tribus lineis. oe enim 'cile demonstratiar per hacidio. medio illorum trium num e ronim equali assiimpio: quemadmodum iri trito de tribus lincis probae turper quatuor alumpta quarta equali medieta
' mpositio . 2I. Umeri scietatissimi quanisibet inoportionem mini muniani era quosli et in eadem ortitarentinormitiorem et maior maior mi equaliter.
CSint .a e. b, minimi numeri in sua proportione: sit
c .daicvtia.ad b.dico .numerat. cci b. d. mu liter. TCum sit enim .a.ad .es vini. c. ad d. erit permutatim. a. d. c. sicut. b.ad Q. TErit intur. a. e. tota pare vel partes quota vel quote b.d.r Si ita fuerit pars constat proposuim. ZAt si partessae. e. Vna partium.a.fi Luna partium. b. st quia tota parse l. e. c. rypothe. quom. f. d. erit perdimnitionem proportiore ad. c. sicut.f. . d. TQ uare perma tatim taM.f.sicut. ad. d. 7 Quare etia sicut.aad. b.riolisit ita . a. b. minimi sire proportionis: quod e contrarium positis. Si militer quo'.
αQuotlibet numeri sine in eadem proportione siue in diuerri minimi uiani erant iii in eadem proportione quis o suum coraciat iurani equaliter.
ε Ut si sint. a. b. c.minimi in eadem proportione vel in diuersis. TSint
tes. quota e a.d. TSi ita pars constat propositum. T At si partes sit. g.
Vna partium. a. l. h. vna partium.b.e R. una. c. T Erit' per presentem 3pothe. tota partib. e. 'quota g.d. T Quare per dissinitionem. h. ad e. .R. ad. f.sicut. Dad. d. T Permutatim igitur mi. g. ad. h. vi. d. ad
TQuia ergo. g. h. R sunt minores.a b. c. em eadem proportione loqui mr contrarium positi.
126쪽
aemimi I fuerint duo numeri mam portionem mim remini ipsi erunt aulae piami
CSi merint ossici numeri ua continuatioe Marum propin nonu siue eadeni siue merse Ωσinimi nunti malaus nimierus
Quollibet innareri quos uiuio non immerat contismatio item suarunt praeportioli una sunt mmimi.
CUt si sint a b c quilibet numeri quos omneς nullus numerat . di g, ipsi mi in continuatione ruarum pre rtionum minimi. T Alioquin sint minimi.Ldis qui periri.numerat-La.dic. qui suum relati literrSit ergo uim g-'per.ΙΤ.utui mersa.L.numaei. a. b. md.e.L quare accidit contrariumpisitioni.
Propositio .23. numeri contra septimi sunt m Mam mo
portioneni minimi. CHec est conuer , mum Tut si duo numeri Dira.eh. tra te primuini eruim sua oportione minimi. Sin aut minimi tradetpotricte si clibile est.c. d. o
C. fmd non Gitonina.e dicontra Ie primi: quod est contra ypoth.
127쪽
vaepositio 24 I fuerint duo numeri contra se primi. si quis mimeon: m n meret adsiterum rite primus iaciem/ no comprobatur .
4 3 Perint duo numeri ad alium quemlibet pumit qui ex ouctu unius inciterum producetur. ad ea
de nerit mus. i Sit uter duorum numerorum.a. g. b. primus ad.c.
Oropositio . 26.d Isierint duo numeli contra feminat qui ex uno eorum in seipsum ducitur ad rest v x panum.
ropositio . . II duobus numel io ad alios duos coparatis uter
inqd Wyunm fuerit pannis qui ex oraodiis priori
bus ad eum quiex duobus posterioribus producetur erit minus.
'M filio .is. 31uerint duo numeri contia se primi duraturi meorum uterin in seipsium rerunt inde producit contra se primi. 3tenim si invii mim productormi stium catur principium: eriant quom producti l contra se primi.
producti contra se nimiit non 'lum hocsed quilibet eductiu ab. a. ad quemlibet eductum a.b.
128쪽
diis coaceruaturin atrunco eoru3 erit sedimus, Si vero cxani bus coaccruatus ad utrum cin rum fuerit imis. o quom numeri a Luai coierunt Panai,
ic Sintin .st.b. contra seprimit ficos, ex eis e postri O.a.b ad utrim eorum entprimus fie conuerso. T Nam sita numerat totum.a.b gala meorum numerabit per coem scientiam emi quum Meriori erant contra μ primit d cpositusirerat: patet ergo primu. seciantasic si La.b.primus ad utrim tuorum componentium si furita l.b.dico M.t.b sinito se primi. TPosito mi Φ.d.numeret virun duorum numerorum.a .b. ut inper coem scieritiam Φ etiam nu
meretia.b. ex eis compositumi quare ad neutrum duorum numerorum
MLb.erita.&primusilia positum erato esset ad virum, Accidit igituri possibile TEode quo mo si coace atus ex duolati primus fierit aclest i prinitu quo erit ad reliquuti deoch e coacctuati inter scit Sirem.
compirus ex aci.b.primus adin dico in erit et minatisad.b aliom me Tot eos cl.quip cocepti ne numerabit g curiumeret totu fi detractum hoc aut incommiens erat enim compositus .a.gb.primus acta.
Mopositio .3O--nis numerus compositus ab aliquo primo
numeratur. Sitia.quilubet numerus copositus: dic aliquis mi muς numerat ipsum.T Quia enim est copositus nume rabitur ab aliquo numero qui sit.&qui si fuerit simuς verum erit quod dicituris aut compositusAtac, qui num rateram qui etiam per coem scietiam numerabitia. ergo ipse fumini natu congat quod dicitur Alsi compositus necessario numerabit eum. alius qui sit .d qui etiam per communem scietiam numerabitia. de quo incinareutprius. Tinia ergo quotiens oc Et compositus necessse es minorem affirmere qui compo tum occurrentem numeret se utur ut tandem deueniatur ad aliquem primunitalioquin acredetimpossibilest contrarium petitioni numerum in infinitum deaescere.
Sitia. ilibernum ς dico m)eprimu vel munerari apti ivio. TQ uiasino emimus erit positum quili bet aut talis ab aliquo monumera p premissem a. igiturus primus est velasimonum liquod pyonitur.
-nis numerus primus m omnem quem immnumerat est primus.
e Sita. merus primurnon numerans. b. dico a fib sunt contra Ie primi.TSimim.c. numerat eos non est verum Φ.a.stprimus.
monumeretur necesseest eundem prinium alae rum illorum duorum numerare.
Unde inmiselliam cit oest aliquis num onumerat lac ex duobus ues si eidem merit comensurabilis; conanicia surae Mus ometaralteri colum.
129쪽
iomni minimos inuenire. CUndenaanifessii est maximum numerum duos comuniter numerite fini millimos illius Oportu ins eos numerare. CSintia.&b.nim in propositim quorum vosmo
WMumerosis cimtinuitatem inoportionum numeroru aniplatorum minimos reperire Unde etiam manifestiam estnia ximum numerum quotlibetcomuniter numerantem miniannio3 proportismum eorum eos numerare.
CUt si sint.αb.e m quorum n oportiones volumis minimos inuenire sue suerint in eadem Nortionesve indiuersis. T Sinultat numerus numerat eoi Omneptipsi sint quos querimus per .hoc enim ibi demonstrarum est. USi autem unus numerat omnest finiatur ut docet tetriat maximus eos communiter numerant qui sit.d mumcteri eos m.e. f. g. qui erunt in eadem proportione periis. TDico eos eo quos queri
Uilibet diuo numeri minimos numeros sile portioliis maior miliorem et minor maiorem lanatiplicantes minimum ab ipsis numeratim prodii civit. Unde manifestium est minimimque duo immerant quemIibet ab eis numeratum numerare.
hoc est impossibile constat verum esse quod dicitur. - mpositio. .36.
Nil opositis quotlibet numeris minimu3 ab eis nu
llmeratum reperire.. alii iam etiam ex hoc est liminimum numerum quem molliritia umerant liquemlibet ab eis numeratum numerare.
130쪽
meriant etiam is viri 'corin emisse.e. 7 Poet dem Fcq corret u merabitimari.f.sed LP Maior ita numerat minorem quod est ιm possibile. THec finemis proponuntur in alio loco rub tribus concili sionibus qua di petimam ualet pinisse isecuda Gmnit ex correlaruς ων bobruiterita onit detribusqgbecdequotlibet numeris Esluamigma.
et Datis duobus immeris minimu3icis numeratu in iro
e ipsum numeri numerum unum minae attineresstest ut
minimus quem nianae mineuIM erit numerum Πumeret. Ut si sit quilibet numerus quem num .a.ss .iadi minimus' ab etς dem numeratus. .eritvt. c. umeret.d. 7 Cum.n .sit. d. iotae. s. non erat ipsum.numerabit in aliquid eius. R Siti plurimum quod nuerat.e.gresiduum sit ferit .f. nus.c. 7 Quia igitur.a.st h. umerat.c. numerabunt per coem sciam Ee.sed numerabant. d.ium p aliam comunem scientiam numeratant.f inconuenient ergo sequitur me.non fuit minimus quem numerant a fi.b.α Ι coutrices geodem modo de quotlibet numerato a quotlibet pluribus.ς. st minimus ab illiς quotlibet pluribus nummius eudem numeret: vltima trium conchisonum est.
ispositio tristetis inlinerisemininium immerorum si ess
rabuleut quare premissis cinumerabit eu est maioreo. T Siaxe, maior minorem quod non otest. Idem inuenies st eodem mo quot
libet proposui mro filio is 3 numerus aliquis aius num immeretierit in
numerato paris a numera 3te Oenominari. Curtius seisine oummentanumeranua temariobet tertiam fi numeratus agnino het quinta sim de ceteris.
'ropositio .38. 3 numerusaliquis parrem quotacsimhabeat numerabiti una numerus ad illam taci dictus.
CHec inconuersa premis Iecurus es interitio st Oisnu merus hsistertianuerat a temarioist fgnia agnatio: