Euclidis megarensis ... Op[er]a

91쪽

LIBER

contulictim quom proportiola elyennit. Demonstrat modum arguendi qui diciti proportio nalitas coniunctat elimodus coitu aς priorit. Ad ea iuς demonstrationem resumat dispositio premineae aeneat oes eius ypossides: excepto ponat re mitio,

equalitersumptis mconuersionem diffinitionis incontinue Importiolnalitatiς β,g.h addit super. p. l.m addat super n. q. si minuit mi matre piequat equati opositis communibin b.R.ff. nain. 1 uit pcomunem scieritiam si .g. R. addit super.b.p .l. ri.addat erim.q.gii minuit minuatig λ tequat i quareper diffinitionem incontinue proportio litatiς erit proportio. a b.ad.b.c.sicut d. e.ad cisquod est ppositum Z Aliter idem indirecte sic. Cum sit proportio.a.c. ad.c.b sciat

a duobus totis oue portiones abscindantur. Emissi eruinti tum ad totam quantum adiriminadabscisum:erit rctiquum ad reliquum quaritiam tonas Ulad rotam. CQuod quinta proponit de multiplicibus. hee prore

2 --ξ-nit inruer iter de omnibus proportionibus. underitii latanto comunior quanto multiplicitate proportio. Sint istur due qua

scinae modus arguendi qui dicitur propomonalitate sat ut si it a b. i

92쪽

QVINTVS

'inre positio .-n 3suerint quotlibet qualitates ali fini earu nul merum au quem due prioriani mimportionem diagrum fluentariimia esse est inipraportionalitate quide equalitatis visi merit ma prioruvI tima maior. et posteriorum prima ultima ce maiorem. Quod siniinor et minorem. Si vero equalis et equalemiae Demon' amnis Euclides modum arguedi qui es equa proportionalitas liue qualitates duorum ordinia directe sive peruersim proportionerit preminit duo antecedentia ad demon' andu φpostrum neces fearia per quom primu dorionstrarur equa sportionalitas cu quantitatere duomna ordinum directe portionantur: rma ut cum proportionaritur puerm:proponit aut hec duo antecedentia de quantitatibus duo; ordinuri ero equalibus quem sue int. uniueribaiter metim sumptis utrobi quantitatibus μὴ quemc inuninum uintatori habent non est autem necesse ut demorissemus ea nisi 'lum in tribus ihoc enim omnimo fissirim: e ad propositumide pluribus aut qui Mi patebit p equa proportionalitate oe ipsa demonitiata fuerit, e Sint igitur treς quantitates a. h.e.fumantur ι tres alie qsint c.d. f. st sit pomo. a.ad.b. sicut.taad.d. g. b.ad. e. cut.d.M.f.dico et, β.a. est maior. e.c. erit maior.f. st si mi rior minori est equalis equalis. 7 Si enim est maior erit per primi parte

ior .f.quarta. ii minor minor: g si equalis equalis: qeenosi tu . aut erraumant in sua demonstiationet quia se et intentio Euclidis uec demon e nct oporteret ipsum premittere banc clusione p antecedente ad equat portionalitat ei si enim ruribu fiat una pmutatio ptoportionalitans ad qua deuentu es ique est esuria. M. c.s Le.ad. liquitur Φ sit.a.M.cisiciat e.ad fghoc est equa propoletionalitas. 7 Preterea eo , coclusio non sequinariusioes quantitates ambri ordinu fuerint generis uni

i iii

93쪽

Npositio .2I. Is ierint quotlibetqualitatesviro B smaildum eat um numerum quarum qium Due ex prioribus;

lquiduis duabusex posterioribus peruersim commessiparate iucundum pruportionem earum fuerint. lemm Hlcesse omest ut siluerint ma proportioiaalimem

litatis prioriam prima ultima maior et posteraeam prinia vltima esse malin .st autem minor et minore3. Si vero equalis et equalem

in learum numerum quarum quem due semiudum proportioneni Duarum ex primis in equa propor I tionalitate proportionaIes erunt

CDomons lavisa tibus ad equa portionalitatem .hie demostrat eam tegmo cum qualitates duis ordinusint directe portioaleς.No est aut necesse ut demonsi et nisi cu in utro duorum ordimu iunt tres quatitates .Perhoc ri euidenter se tur cu i utro ordie silerint qtuorquatitates st deinceps te ideo et no oportuit eius ansdemon' ari nisi solum cia in utrog, ordine mi et tresqualitat et g Sint

ut puς. EQ d si 'erint quantitates plures tribus in utroiv ordinet utpo

Isiuerint of t quantita allem sistam ea

runt uti merum amniquem duesectandum proportitiem duarum ex priori sindirecte in oportionate in equa proportioliaeitate proportionales erunt.

94쪽

emon'at equam proportionalitatem in quatitatibus duorum Ordinum indirecte siue peruersim proporrionariς Nec est neceste demonstretur nisi inna in utroq, duorum ordinum imitantum tres quantitateset per hoc enim euideriter sequiturquecim ponantur in utrocu ordine sicut in premisiade directe proportionatu demons ratum est. Sint igitur treς

strantur hec premiis fini primum modia. EQuod si plures reibus fue

sublatouno medio Eodemo demolirabiς M.f.per quam sublatis duobus triedusade.6.petis sublatis tribus eiic in ceteris.

CNota cum in istis inducit diffinitio inc&inuet, ponilla maioritas mutoritas fi equalitas multipliciu adinvicem. s.primi ad secudu; e tertii ad qrru intelligui temper geometrice strion arithmetice uidelicet stinus quanta multiplex primu excedit equat aut minuit multiplex secundi iamde multiplex renum spor excedat equet multiplex tertii multiplex quarti sicut dcm suit se a in difficitione inta huius quinti lib.unno rufflatdicree multiplex simi excedet multiplex stoediisssimiliter multipleximii excedit multiplex qrti ergo qruor quatitates simi potast portio pine adfecuta est cui tertie ad qua; d oportet adderest tantudest excedantequet aut minuat fici ' rupositio . .

'T Iluerit proportio primi ad secundum tanquater

vj ad quartum: portio vero militi ad inandutanus sexti ad quartum erit pisortio primi et qui

ti pariter acceptorumadseciuidum talὶ a sexti et terri pariter acceptorum ad quartum.

2CQuod secunda propriuit de multiplicibus hec propo nitimiures,liter de omni heu proportionibus t unde et illa tanto e mininor quanto multiplicitareproportio 1se habet ad illat queadmodu. s.

vispositio . M. fuerint quatuor quantitares a3portiolavis rivorrum prima carum manniae et intima minima mamet ritimam pariter acceptas ceteris duabus

maiusce nec ario com batur. Quod hic proponitur non habet locum nisi citria ore quanior quatitates sint eiusde generis. 7 Sinti qtuor q

nes; oportet ponere minima: Dism'ex hoe minis. a.di eposita

e sid

95쪽

est maximiun non po uti hoc auctor in coclusio re tana politione: potuis tanqpcesciitis positiois coclusione. 7 Dico cu ita fierit maius

addite sint ille me litates.vb.g.b. d.ideo primust maius secundo M. Uropositio .26----imuit luerit quatuor Raantitatum proportio piate adlecundam maior aeterne ad quartani erit conuersim econtrario proportio secunde ad primanimi liorque arreaaternam.

mead secundamque tertie quartam ent permumulatim maior portio prime ad tertiani di sescunde ad quartam.

Crastigator. ae Per conuersam propor quia sumpta luit,riad c Mut.bad.d. lideo dicitur lamna ad b.

96쪽

in Q. coniuncum maior amomo me et securi ad se

lcundam in tertie et optaue ad quartam

rapositio .29. sieri in mor antitates qua* l e et secunde disecunda sit ma ora portio*serue et arte ad quartam. erit quom distinctima portio Die ad

positum. Moositio . o. Issierint quatuor qualitates apinae et fesside adsecunda sit maior orti m tertie et quaruad rinae numersum minor. ornostiae et se eadpmam in tertie et quartae ad tertiani. -ει ne Sit maior portionaxad. b.ς.e.M. d.dico P m sim

Gropositio - Iiverint tres quatitates in uno ordine ireque tres in alis fueritq; minae priorum adimanta maior portiomprime uerioruna ad secundam ite

97쪽

stat proposinam. Npositio .32.

tenam prime oram ad secundam maior in itide posteriorum ad tertiam:erit maior propor να- miti prime priorum ad tertiam in me posterio rum ad tertiam.

a d ad.Lquod propositum.

llada dissum erit residui ad residuum maior pro portio in totius ad totum

i iniri Merumcui beterece uis ad suam ire iam maior portio in alicuius subsequeutio ad Panaaeritoninuim harum pariter acceptarum ad omitesillas pariter areanas maior oportio in alicuius sedita stulti ad suam comparem aut etiam in omnium pariter accerrarum adomites pariter acces inas minor autem inprime ad palmam. .

99쪽

LIBER

M. e.c.quod sprimum. Et si hoc fuerit erit per premissem ipsiuna.d.e.adu rubillonim proportio una quare perimmdam partem. 9.mti initimi adinvicem equale sist quia initimi super eandem basim. inde licet lineam.&e.ffex eadem me ait per 3 primi linea.d.e.equidistis

partesipsius basis resimis ciuidem trian i lateribus*portionalescite. Si vero due partes fiaquas linea ab angulo ducta distiliguit reliquis tria. guli sateribus proportioirales fuerint lineam illam anguium pere alia diuidere necessario comprobatur.

us angusis alterius sente quales: Iater aequosan gulos respicientia sunt proporti resia

100쪽

dium ambos triangulo; sup lineam una quesit.&eata duo anguli uni us qui inmt super Irinc lineam sint equales duobus alteri uerunt

Npositio S. Duoruni triangularum quorum curami trunxIaterum in revicientium est proportio una angulilateribus propoletionalibus contenti equi si

ibi inuicem probatur. WHecessconuersa prioriς nec fecito ea epremisse uin-- L conclusionem sicut fecit in Iecuta fitertia huius: quia nee

CCastigator.

ropositiois. itastites duo trianguli quorum maia sus mili mi angulo alterius equesto later istas I equos angulos continentia proportionalia Ditin I trer seinuicem equi anguli.

inius angulo.e alter siquia utemi e equalis angulo.b.ipsi erutv quarta primi equianguli .l quia e.vfestet equi anguis. a.h. c. patet opinitu.

II ruerint duo triaguli quorum unus angulus uni

iis uni angulo alterius equaeis: duom Horiam resiquorum alipilorum Iateribusa portionalibus comanr Duorum vero nennam reliquorum Hermilaut neuter recto angulo minor necesse est illos om

u os triangulos omnitus suis angiviis inter se inui /c equiangulos cile.