Euclidis megarensis ... Op[er]a

81쪽

. LIBER

mptio mediorvi fi hec sentiricomutpportionale fi hec ipportionalitas ad minus exigit qtuor te in t alterius medii sumptione. R Et dis finiuit Et qualitates qsunt improportionales.quMoest maior una uor tis qua sit alia. Et li eet ois Impinetio scita Deroalit.tuc'cile ret intalectui cognosecteqproportiones emtunaeq diuerse.EQ .n.habe rent unam denominationem emtuna.q aut diuersu diu .heeaut 'cilitas manifesta sex arithmetica momnium numero proportio scitastroalis est.Vn Iordatius in scdo arithmetice sue disiuitesq oportiones sint redem g q diuerse dicit easdemee que eadem dot ominationem recipiunt.Maiorem uosi maiore fi minorem q minorem Sedinfinite statuortiones .irroales minet denoratior ibilis no e.TQuare cuEuclideς consideret in hoc librosito proportionalia iter non contra hedo ad males uel in oesta .considerat proportionem reptam intinuiςq cois e ad illas. Non potuit diffinire idemptitatem proportionust id titatem denominatioum. iciit arithmeticust eo st multarum proportionum ut dciti est sint denominationes simpliciterimoteriissini tione aut oportet fieri ex notis uia malicia proportionum irrationalia coegit Euclidem traici diffinitiones ponere TQ uia ergo non potuit ut patet ex missis di ire cumrtionalitatem siue idemptitatem proportionum.p idemnitatem habitudinum.siue denom,nationum ipsorum terminorum D irrationalitate habiminii ginconuenientiam irris norum coactus egres igere ad terminorum multiplicia ut ex illorum habitudinibus quatum ad excessiim g mlitate consideratiς equis numerositatibui sumpto; p qe ad naturam irrationalitatis reducumrpropintam diiunitionem uena. 7 Nihil .n .m quocunivi neqlitatis genere ter iminis magis idem K eorum multiplicia. nec terminorum habitudini λς. multipliciu habitudo. Et quia proportio e duaru quatit tum eiusde generis certa habitudo considerata in eo Q sit e es aut Φ altera maior deo idemptitas proportionuentium inter simam. quatita tum adsctime tertiam ad amesimilis inlitas sime adsecudamaterne ad quam aut Iimilis maioritas. aut similis minoritaε.hee aut limilis mittas .aut similis maioritas.aut similis minori tantuc e inter qtuor est breviantitates cum est inter oes earum mitter miltiplicet. Q dergo dicitin quinta d isninone quantitatesque dicun continuam proportionaeitatem lesin ceteratac si diceretioes illas quantitaterno continue proportionales quod est eas similiter ei equales continuel lini liter continue esse maiores fi sim ito continue esse minores quarum omnes eque multiplice .aut sibi inuicem sint.stmiliter cotinue equalerates similiter continue maiores uel similiter continue minores quod est et Pam ipsia multiplices esse continue proportionalet quod si hoe Micubi in multiplicibus dissis eas dico non es le continue proportionales C Quod autem dicit in fissa diffintione. Q avntitatesque dicimur esse=m Nortionem unam prima ad sciam e tertia ad quartam fi cetera:acsi diceret Oeng.quantitates uoco incontinue promni alas.fisthabri e primam ad lecundam sicut tertia se habet ad quarta mi quod siniam ad securam .fitertiam ad quartam similiterse habere inequam

do aut addendo aut minuendo quarum omnes eque multiplices

fi tertie ad omnes eque multiplices lem e fi quartrisimiliter se habent Mat inequando.aut addedo aut minuendo quod est etiam multiplices prime in eadem proportione te habere adi multiplices secunde in qua multiplice tertie se habentad multiplices quarte quod si hoc alicubi di qbnat in nultiplicibus.dic on repreponoem seime ad secundam piciti tertie ad Viam. Q 4 aut dicit in .s .difffiiti e e ac si diceret maiorem portionem uoco ..qualitatum sme ad scdam si tarie ad misqdesernam magis excedere sceam si tertia excedat Ninni. am aliqoniustiplicibus prime addit*γ aliqua ex mutulici nee Miri ex nitan

82쪽

plicibus tertie sumpta Pindiam numerationem multiplicis smeno addere sirpinque ex multiplicibusqne:iumptam numeratione miltiplicis sine. qeo ex st maiorem miti em multiplicis eme ad multiplicen .q mulassicis tertie ad multiplicem qrte . simininitiones asit ictas nixi sint aliqui demonstrare.quom Amrius filiusIoseph tetauit eat , monstrarem stolaria qua de portione eproportiorialitate compoaecepit tria pmoda positioni stag cipiati diciteepse notae phatio non indigere.ας rugnetum eq4 si fuerinta quantitateς.qm supponiosmead tedam sicut tertie ad vixerit ecouer'pportio scde adgmam sicut te ad tertia.st hic e modus arguedique uocauit sepius Euesides couenam portionalitate.gemuitqm dixit i politionem re pse not cuius ans fi conseques stat ignota. I Potu em. Usit ee oportio 'riem sime qualitatis ad stadam sint terti ead*tam.qre hoc iFoto posito imoibile est intelligere quid ex ipsis raues. Usimiliter quoev quiacdsequens e ignotu imo sibilae intelligere quid ad ipsum andati. α Seesidum sncipuim eius fatur si fierint. qualitates quarum sit propor

fio sitne ad scdam sic tertie ad intam si prata sit maior scda teritimi a maior qrta: stsi minor minotast si eqlismiis. ETertium fuit Lyerint luatitatesqrum sit porticisme adsecutam mitertie ad qrtaminrithme ad quodlibet multiplex unde: sicut tertie ad aliquod eque multi silex ex multiplicibusqrte:ffacciditsibi inglis duobus cipiis idemn

quod accidebat in simo. Accepit.n.i olbiu ignotasimiliter ina nota me non demonstrauit.TPeccauit et in iecuda demonstrationestin tertiassin quinta .in m qualibet arguit ex S.uel exuo huius q Noba, ex dif

non demonstrat aut acciditsibi circuliue principia esse ignotiora coclusionibus. USupponenda sint igitur cum Euclide sincipia tana nota. et

non ipsa ex conclusioni Asyd conclusiones ex ills demonstrande sunt.

astigator

a CEx quo portionalitas e similitudo sportionum sequit portiones similes fimimum inde e denoni alio ut dupla.Et dupla tripla tripla

medieta trimest medietas tripleto portionum malium Talestate π rtiomant coicant in uno termio aiun5tex primo sitnorti alitas intimage illa q ad minus e i tribus terminisco'tuta uris oraedia It diuersa suma. a.b ita. U.d VCongitaui in eisdeterministis eportionem inflari ex aliamultis modis cu merit portionalitas quare

Euclides ponit. 6.m5s siue spei gut ibi Miunt quida modi arguedi quo

83쪽

UBER

m abiles sine inc6meia abiles. Ανmmit aut ille modus arguendi in aliis scientis ead diuersas materias trahit sed quomodo in alia materia valete quo no difficilitatem het galibi uideridet in illa sino modo arguedi sertio litas composita ex portaeibus irronalibus potinlisi ex ε portionalitate coposita ex uortionibus roalibus e reonu o quia stet tur sicut costa maior ad suam dyamene sic colla mi ad stuam diami sicut costa ad ccisia ita dyameteria diamet fled possibile e costa sit

dupla ad colla gruemuiturq, dyametersit dupla dranaetri: hoc aut coaccidit in sino mo eca est quia stans e in isto opponioe maioru inrilitatis cosequens erit ex proportione minoris inequalitatis geconue oti paut in eisdem terminis es ponto e maioris in litatis est malis et eritumno ronalis minoris inelitatis gecouerso nota. R. non di immimsi pharacppositionem .s3. D. Sequina tertia s.conlucta Nortio alitas sub Alic 'bis. Conluctapportionalitas dF quoties a diuisis arguitur ad

conluctiones si enim M. a.ad. b ita. c.ad. d. igitur iungedo triminos tenet liciat. a. b.M. b. ita c.d ad. d. de ordine fuato. Qtinta sub aliis bis Disium uero est cum econuerso s a coirvacti terminis ad eosdem diuisos arguitur ut sicut. a bad b.ita. c. d.ad .d iginar sicut.a ad. b. Ita.

ad diffin illis seruatur idem ordo in terminis i quibus fiat illatio ut asse iac5 equeςe5iugan .ec. Seviareuer*1iubaluc bis euers, is ortioe a divisi; uel simplicibus terminis ad coiuctos siue copolitosinoe de ordiem couer'. fit illatio ut siciuarinebat .a.M.b ita. e. acd igr. sinat. d.cta c.ita. b.a. ad a fidum aco iussa garilla arguebit ad c sequisi isti ad antia Elio uocat eum, epire dii lexus euer colucta uel euersa disium piniscedo ea cuduab pebus pdiciis. Et psit multiadi modi arguedi ex pimissione ha3 regulapi mari uel fierisse . Empportionalitas sib aliis ac bis e dua bus multitudin bux statu noctiuς st tibi in pistulini

cine pportionum conrespondentibus subtracti; mediis primay ad ulti maς in hirudine portionis similiviosae arguedo sicut .a.pb e. c. Iter se ita d ff.e.f.f. intersie igitur sicut.a.ad c. ita d.ad .f. Et istis modi arvadi utilest in quia tegi Oib pporticibus potes facere oeς has coge et iaspter ultimaqad minus is terminos revit iisti fient uorqtitates portionales couersim erui portionales fi pinutatim e coinclinet g euom fimnus dunsim frudisvictim g dico diuit a oportet predia cotussim

guendi: igiturquecvmi proportio est altera maiore altera. c.

84쪽

Propositis .r.

zzΠ: l 3 fuerit quonidet quantitates totido eme

multil glaes aut singulae singulis uales ne se equemadmodum una illairimi adsui comparem solum quom his aggremium ad onmes illas riter acceptas similiter te habere.

aggregatum exoibus e finitd.e.f. Quod si singule fmgulis snt eq/ici patet nostrum per hanccoem sciami se ibus equalia addaritus to ea quo ierunt equalia. 7 Si aut simoesiuis compitiis eque multipli eseum quantitatem Liarum submultiplicium: inti gregatum re

aras tertia ad quartam eque multiplices quinta ad siccundam alipsi inad quartam eque mult nices: totam primeet quintead scoam.totum. tertieri te urta eque nuntiplicia esse ueniet.

t Perint pnium scisi et tertium quarti eque multiplicia ad mlnurmvero et ternum multipsices su/mantur miratius ei ni mulli exprimi ad 1 udus atm multiplex terti; ad quartum eque multiplicia.

85쪽

LIBER

b. sicut tertia. fad Sint piadem ut totu aggregatu in m prunis partibus. e.siit ita multiplex ad.b.sicut totum aggregatu miris pris bim Lad d. CSi si pisci fuerint patiene.ff. .coponendo γkquouemcu aggregato ex mori concludens φ sicut e. multipisaa.b.ittatad.d.per premissam totiens simi piamiquot Fmni parte inmautum.Lminus una: si patetmpositum. OlΠMtor. a Cassia times rima para. e.tenet locum primetinim pars.I. tenet locum tertitae cuda.e.tenet lorum quinte. eseamdaa. tenet loca state. g ideo perpremissam concluditur totius.e. ad.b. Puttotius. Lad. d.e eodem modo ulterius Malias partes sique 'rent. b c Quoniam fera per aggregatum ex partibuς.e. habebit locum prime es per sequens parr.e. habebit locum quinte. ga egatum ex partibus. f. tenebit locum tertie fiscinperpars succesciis tenebit locum siste.gideo per pre missium totiens repetitam quoties ierint ptes, e minus malam M. D.

Maeposivio. 4 fuerit a portio pruni ad iucundum sicut terni adtiquartun adprimum aute et terum equemuIunificia assigii mr. 3t in ad si cundum et quamm lmultiplices inses eruta igarate multi in eo idem ordinemportionales.

et sics aliquota erit reliquii reliqui tota ps erit quota tot si totiuς. Sit quantitas.a.b. tota pars quatitatis. c. ud. quota .e.b .ipsius.a.b .minuatur .a. b. ex quantitate

3 fuerint due quantitates ad alias as eque navi Nices:dueq. Ianno maluabus maloridias visalq, a sua multi reicesubtrahantur.el ut Duo reliqea uiade partiu eque mullipicia aureis inualia.

86쪽

ππαν mi Ioue quantitates Mes ad GIibet coparentur ea

m liun adstiani erit a proportio.itenim ad istasa

meroquiae p ypothnim N equalitatem multiplicatiois utrobigi quatitate aut p hac coem ςctam quotiens oportuait repetitam: que eide stat equalia bibit mice sint equalia: quia tu prima ex ptibus.d.est equalis si me ex ptibtu.e gscunda leiadrificetae ceteris. Sunt tot partes in.d.

quot sunt in.Merit per prima huius.d.equalice.*ep coem sciam: si duequalitates equalescopi et ad alia tertiam: aut ambe qualitaten d. ;Gisimiliter maiores.faut similiter minorestant sibi equalestiuae indiffinitione incoliniae. rtionalitati si qestpportio.a prime M.tast cuiatea de est.b.lcitie ad.c.quarta qd est Nostrum. ESecundu eode modo sthabis ordine conuer'rutic ponatur prima e tertia.a. uero secundah. 6ra. Cu uero quatitaς. f.' est multiplex fine tertie sit aut similiter malor quatitatibus. d.e. e. emteque multiplices sectae si quartet aut militer minor aut est equaliς:em p mdedi trione proportio. e.sme d. decudat icut.citertie ad.b. quantiquod estpropositin seciandum. Propositio . S.IIoue quantitates uaequales adviram quantitate portioneiam maior quidem maiorem. minor luero minorem obtinebit pa portionci. illius Hro illasadmi rem vero 3 portioni . ad majorem vero mitrarerit,

87쪽

LIBER

E.Nequalistati maioritotiens.n.multiplicabomam luat; trium quatitaui. e.cib. e.M.equaliteri .LPmultiplCtae. c. proueniat maior d. φ.b. multiplex.a.non proueniat minor eadem.TDoride toties imitiplicabo.d.quod eniat quantitas maiorib. ρη, .m prima quantitas multipliciu d. que sit maior.h. Sub quasumam marinia multiplicia.

aut sibi equalemisti m est prima in ordine multiplicium. d.que sit .l erit in. Lriori sit maior.hM constabit.m. .d.Ε .propterid quod omne ν bmultiplex constat ex proximo precedenti multiplici e simplo i iit triplum duplo fi implo.excepto primo multipliciquod c5stat ex bis simplo.

eque multipliciatuidelicet. R.g.2h.similiter quo ad secundal quaciam mve multipliciailmo idem i rone duorum quod est m. addit. .

g.multiplex prime super. m.multiplex secunde non addit aut. h. multi plex tertiesuper m.multiplex quarte: eritper dissinitionem maioris improportionalitatis maior proportio.b.c prime ad.d secundam g. a.te tiead.d.quartam quod est primit.ESecundu Dabuper eandem dissinitionem c uerso ordinerutae sit primal tertia a. lecunda. b.c. quartat addit enim.m.multiplex prime super .h.multiplicem fecunde. Noaddit autem.m multiplex tertie superi vinultiplicem quartet quare maior e proportio.d.ad a. q. d.ad b. c.quod est secutame Ex huius aut dentia stationis modo patet*Scientia di itionis maioris inis portionalitatiς:qua posiit auctor in principio huius quinti Nusqua.n maior oportio primequatuor quantitatum adsecundam et terie ad quarta.

quiri contingat aliqua 'ue multiplicia ad primam e tertiam reperiri: cum relata fiterint ad aliqua eque multiplicia fecivide g quarte: in eniet multiplex primeaddere super maetiplex secunde. Non autem multiplex tertiesvper multiplex quarte hec autem multiplicia si creperiemuς: sicut demonstrabimus in fisupra.u.huius.

CCastigator

a simula. et per primam latius est ita multiplex b.e sient.κ f b.diffissicut.ba.cum. f. sit equalis h.ronesubmultipliciurulibidρ M.be Domum multiplex est duplum: fi hocappellat Boetius mininisi inmundo iam fuemusice cap.xx.e tale semper constatex bis Implo. Simplum aut

plicia esistant ex Himo p recedente multiplici e simplo ut trisu ex da'

Propesino .'. I sierit aliquarum quantitatum ad unam quati

latem Proportio maipis , ee equali. Si vero viiins adeasa portio una ipsis equales Ee necessee.

CSit duarum quantitatumin .e. F. portio una ad. .dico eas esse equales.ssiecommo fierit ei porti .e. ad utram emamradhuc dico ea see equales.heeest conuertavPrimum sic patet .si enim no Lintequalestita altera eaν maior utpote. erit p prima parte premi Iemaiorimitio.a.ad Gq.b ad .c.quod e cotra 'mine. Sectandsi quoq, patet.quia si a.di maior.b.erit per ieamdam partem premi se maior proporti cad. ad a quod est etiam mira ypothe m.

Paepositio .I II Deritumiis ad qnantitatem viras aliquana pro ponto maloimamantatem matrima esse. Si vero unius adeat idem proportio maior milio reene

88쪽

illeo esse malorem.b Ire est conuersi a primu patet y primam parria et V per immamam per primam panem luet et noeritia. Italis Vnec etiam minor minimam octaue. Seamdum uero patet exlecudis partibus earundem.

C Propositionem hanc qua Euclides in princimo primi

annumerauit inter comunes animi concepti m que ei

idem mi equalia Di quo sunt equalia: prout de quantitatibus intestigitur hic demonstrat prout proportionibu accomodatur. Sit ergo utrae, duamn proportionum que simi.R.ad.lag. Gad.d. equalis Noportioniqueest.Gad. f. dico proportionesque sint.aiad. b. e. e. .d.sibi inuicem re uales. 7 Sumam enim.ῖ.M.A. ff.h.M. .f. R. ad. r.eque multiplices. Item .uad. b. m. .d.f.n.M.f. eque mistiplices: ffquia mypothesim proportio. e.M.f est sicut.a .ad. b.fisimi ii tresicut.c ad.d. erit per conuersionem di itionis incontinue propor nalitatisint sumptam Ii. addit super. n.γg.addit super. l. e h. supinasi. R. minini ab n. F.g. minuat ab I. e. .ab.m.gli. e equalis.n. m.vsit equalis L .ltaequass.m.quia igitur.g.M.t.Εh.M. m.similiter habent in addendo diminuendo equando.mediantibus. C. n.erit per dissinitionem incontinue proportionalitatiς. a.ad b. iciat. c. ad.d.

1ii erit proportio primi ad scindum sciat aer ad k mi quartuni. term vero ad quartum maior in quintiri glU satum erit proportio punit ad secudum maior lcnquitati ad sextum

Q Si timeredere hied 5gratin proportionalitat 2ESE eonceptibileest i quantitati si delicet .sidue quantitates Rerint sibi initicem equalis quamn v fuerit una earum maior ea Mmaior mist reliqua In proportionibuς ni hoc demonstratur: ut si sit seo trioa.M.b.,mtic. .d. uero ad.d.sit maior g.riad.Leritquc a.M.b.maim q.Gad.fTSuma enim.Pada . d.e e .R. ad.e. eque multiplices. Item .lad.b.q. m.M.d.friassis eque multiplices t g qa per ypossissim proportio. c.M.d Usarta.ad.b a maior g.e..M. f. erit per conuersionem diffinitionis incontinue proportionalitatis si I addit si rim.2gaddat superil.em conuersionem di itionis maioris ima proportionalitatis no sit necesse. .addere 'super. n. 7 Quia igitur me viantibus. I, Em si vaddit sus est ne pse. addere super. n.erit perduinitionem maioriς improportionalitatis maior proportio. a.ad

dig. e.M.f. quod est propositum.C Simili qum, modo probabiς et, si t

percouersionem igitur diffinitioniς maiorit improportionalitatis A. R. indit super n.non est neces h.addat 'perim. st h.non addit sh per m g non addit ruperil TRSosi. addit eriar mone necesse ut g. addat 'per LTper diffinitionem igitur maiori improportionalitatis mais erit oportio ead fg.αM.b. ergo ec uessot merit. a. ad. b. grad. f.quini propositum. Ex modo autem demonstrati Cnis octa

vetate hac fiet manili 'im psi fuerit psime quiarum quatitarum ad

89쪽

LIBER

Feciundam maior porti a tertie ad quartam collaret teperire aliquieque multiplicia prime fi tertietque cum comparabumrad aliquae eque . multiplicia lecude g quarte inuenietur multiplex prime addere sup mub tiplex se detnon autem multiplex tertie si per multiplex quarte;qqin

sic patet. Sit enim maior Importio a b. ad.c.q.d.ad.e. ponam ergo ut sit proportio.a.fad.c.sicut.d.ad.cierit per banc.tr.e per .a.Lminpra.b. sit minor inquantitate.Lb.quammultiplicabo totiens pro h in quantitas maior.c.que sit,g.h.hac conditione ut .ltotiens multis qcata producat quantitatem non minorem.e.que sita Tuc ponam uti g sire ita multiplex.a. f. sicut g h. est multiplex fb.aut. d.erit per primam huius. .h. ita multiplex.a. sicut.R.d.Deinde ponam s. m.sit prima quantitas multiplex.e.quesit maior. .g ponam.n. sta multiplicem c.sciat.m.est multiplex.e erit per premis*ςypotheses fi conuersionem di ictonis incontinuem ortionalitatis i quantitas n. prima multi pliciumς.c.que erit mai mi .g.nec erit. g. minor.c. b Sumam ergo sub ce. n. maximam multiplicium. c. arum equalem si sun. n. sit prima bmultiplictum eiuς quesit.o.constabis*. n. . o.f.c. T Q uia ergo.l. g. non es minor. OM.g. s. est malo c. L h.maior. n. quare cum, lix minorim patet propositu. Conuersam quo huius demonstare possumus.uidelicet. si contingit reperirealiqua eque multiplicia prime sttertie quarum multiplex primeaddat super aliquod mul lex stoendessinultiplex tertienon addat super multiplex quarte:maior erit Irri rimio prime ad secundam g tertiae ad quartanuquod sic proham T iniqua:

fi g est eque multiplex quantitatis.e.d.ctgo inestat Nuales.Nam hecisslatio demonstrata est in.et huius:si quia. g.rim est maior. non erit m. p.maior eademi sed per conuersioncin diffinitionis inocintinue trisor

p. quod di impossibile quare relinquit propositum. 4CCastigator. a CQ uia stat *.R.addat super. etiam: Uno Ompportione quatu

fini .huius quintilled hoMon est necesse sed possibile solum.be Quo

niam totiens multiplicabo unaqua trium quantitarumLb d a. f. scnon proueniat minor e.si g, Lgmon efficianumino c. Mequalis qui maiorica Cum hoc .c s.citotienseque multipliceritur Mni proueni

raropositio .R. fuerit quodlibet quantitatum ad aetidem alias

unam eadem proportio barim natu mi iter ac ceptarii madomi a Pillas paliter acceptas. Cinod primo propositi de multiplicibus i hic

90쪽

nx quatuor quantitates proportionalas. Pe

l 3luerint aliquibiloquantitatibus mi multimi aes alii stare.erit iplanim multiplicium atqb luben Itiplicium a propinno. ,

3 si ierint quantitatesconiunctim proportionalas: easdem disiunctim quoq; a Frtionales esse.

CDemo gratonigariuendi qui drpportionalitas pinutata nostratisv q di portioalitas dicturicta. p Sit ita

LO massis, eque militiplices. erit p prima huius. g. R. ita multiplex