Euclidis megarensis ... Op[er]a

131쪽

LIBER

Ldenominata sit pypπ comem uitur ut quotiem unitas numerata. toticiis.b.mamerat.R. Ital per. 16.quouens unitas.tatoties. cinumerata.quare constat propolitum.e liter idem ciam stib.pars .a. si tota unitas. eri Ni per hanc comunem scientiam unitatem replae in omnis mameri ab trio denominatam, denominans.b.ina.fiquiae b. inin quotiens unitas in.c. idento sequitia propositum periis.

'metopositio . 9.

m im minimu pro rasitaruna denoniuratios

mini habentem partes inuenire 'quo maniis stuest in minimus numerus iIumeratus a quonis det e minimus bis partes denotatas abi .

, . Sintia.b.c.d.denominantes partes propositas g emi Q l nimus numeratur ab eu sumptu fm. 36.imm e dico esse quem querimus. TSint minim quo numerant ipsam CPh. R. eritqi phanc comunem scienti innitas est pars omnis numeri ab ' di/ctatutinceuersa. u.h. .numerendie. fm a.b.c.d.quare fiant partes eius ab illis dicte. Est igitur.e.haberi saries propolitarum 'denominati

c.d quod est inconuenientio Habito minimo: si cura es habere se indu aut quotu quelibet: si iecudumsume duplum minimi: t terti utri plag ad hunc moduin aliis.V Cum enim omnis multiplex. e. meret ab

rub. d.per hanc em scientiam. Omnis numerus numerans alium numerat omnem numeratum ab illo. 7 Necesse est peribet. ut omniis multi pi .e.habeat partes denominatas ab. a.b.c.d 7 Si ita duplutari noluerit Ierundus habms parteς opositarum denotationum: erit aliuς quem si mi sequitur esse maiorem risiae sequitur e e minorem duplo i g quia illum

est impossibile. TCum enim numeret te. numerareto hanc commescte tiam omnis nummis numerans totum g detractaminumerat re dirum disti etiam illiuς adirique cum sit minor let maior numerus numeraret minorem quod est non potest sequitur ita duplum.α eskm numerutabentem propositarum denominationum partes.CSimiliterqu argues duplum.&esstemium probato duplo esse se dum:alioquin qria esset triplo minor: e duplo maiori se cietur . numerare aliquem inter iniustariunm triplamiquodut prius patet esse impoHibile. 7 Prbbato autem triplo este tertium ad hiulis similitudinem Nobabis quadruplum

esse quartumii sic in ceteri .

Ea vinum mi merum habentem partes propositarium de twmitrationiam sumptarum anile reperire.

. Ut minimum numerum habent vitiamque teria habeat quartaque etiam quarta habeat quintanimis mamam qualiteram corin gat eas ab eisdem uel diuersiς denominari.TMultiplicari oportet denominatorem prime partis indmominatorem smime: e ex eis productu in denominatorem intieiproductumqucq in denominatorem quarte sic de ceterisus ad ultimam a prima. 7 Uelus ad premam ab ultima si qui proumeruerit qui inquiriniri ut in proposito.6o. - Θ4 C Hoc autem ita esse demonstrative sic habeto. TSint numeri partes propositas denominantes.a.b.c.d.uolumus inuenire minit num numerum qui beat partem denominatam ab.a ita illa pars habeat partem denomi natam a.b gula aliam dmominatam a. c. Led si hec aliam dictam a d. Ducatur ita .d.in.c. 1 proumlatae. .e. in. b. 6 proueniat. f. f. quo*ducaturin.α1 prouenia g. quem dico esse quem inquirimus. R Cum

pter hoc erit. d. pars. e. dicta a. c. equa unitas est parς. d. dicta ab ipso

132쪽

tos cirra fuerit brestam aut motuquelibetp minimi multiplicta utpri us d est sume di mi hec t.30. ponitur in alio m hunc modum.

α ropositis quotiscum clibet minimum mimo

rum eas continentium inuenire

e Ut si partes proposite sint.a b.c.sim eas denominantes d. e. . e sumatur minimus quem num ni d.cis qui sit g. ne dico Gle quem que 'rimus.7 Erunt enim in eo propolite partes per 3πCQuis no fierit minimus e continensi sit ergo h que numerabunt.d. e.f. per. S. t turno eritag mi nam numeratus ab eis quod egi oueriles quia erat. T Intelligo urio partes.a b.candeterminate poni gno sub quantitate certarali ter enim non eet necessarium ut minimus numerus quem numerat.d.C. fessa minimus continen partes P sitas.7 Plurimas enim c5tingit rtex reperire quas numerus riummius ab ea denominatoribus non continet 7 verbi gratia. Tres numeri a stainno. oct.:.funt eiusde nume ripies.primus quide tertia. lecudinum qrv.fitertuisquiritat nec in mi nimus que numerat denotatores e , qui e.6o.partes istas cotinet. T I mgandu igitur es spiet sub certa quatitate ponant prime cosequentie bu ius demonstrationis.7 No enim tequitur ut arguit p.yrisit artus hue numerat ergo hic numerus positus elicius tritia.TSed ergo hettertiam.

nientius uidet qdimenditur poni. T Αnedere aut ortet cuως pshabeat ita te in ea contingit ponere quotlibet g qua libet pies m qualitate:ginquirere uminimus eat cotinet erub qui denominationi hus.7 Minin aut eas estinete cogatee minimu numeratu ab eis. 7 Secudum quos uero numerantiunt qui illos in illo denotarit. Contingitito, ponerequo libet fi quaslibet denominationes: si inquirere in quo minimo bee denominationes retiuntur fm quas Nitates. 7 Minimuquotv cogat ee minimum numeratu ab illis. TSecuda quos uerobriumerant furitqui stitates determinarit.TVtrobi aut idcirco inquirit minimunquia infinitiisthinc quide qui haς presestinent. Inde uero in PMς bee denotationes r umtur.UContingit rudus ponere quotlibet p. tes fi totide denotationes. I quotlibet denotationes fi totidem partes. UNO aut quoibeto quibusliberesedcertas incertis.TSi enim ponamptes tres quatuorquin fideriorationes 3,.s.7 S.ginquiram quis nuerus cotinet has pres subistis denotationiblis: simili sero inquisitori uano Q enti impossibile CCerta igitur conuenit ponereptes in denotationibus certis e noui contingit ginquirere quis numerus postaspres subpositis denominationibus continetino aut quos. Minimus unicus enim

g nam livetposita fueritvna pars fiuna deriolatio sive plures plures trion erit 'mere plureς numeros quodppositu erit contineten Solus enieli citiust artus es quinta rio plures. Solus quo cuiust artus est a uat senarius quarta non plureς si I deo Mnentem partes fidenotationes ip*m in toto non es querere quis minimus continethas pressebirix denotationibus:se quis unus cotinet.TProponeremtptesim Comni quererequiis minimus eat continet 1 a quibus in eo denotamur USOlat quo sponente denotationes conuenit querereq partes ab illiς dictelinquo minimo im . Conuenietius autur paries denotatio es inquireret et dentationes p partepidiversitate quide denotationuncipartia comitatur Dortionu divinitas. Explicit liber mus.

133쪽

LIBER

C Tyberoe uris Euclidis de nunieris simisitas ae annad instarc atmuellitatis denominationibus et ipsorum ad inuicem proportionidias ex optima Campani interpretatione a gistro Lucapacio de Burgo Gaiam Sepulcris di nio citanorum Cast tore diligentissimo. Incipit.

Hiera numerorum dicunmuorum multinitatione numeri Ddume. 1. si Suphcialis appcllammmmerusqex duobullateribus contineria. CSolidus Osi sub tribus ex quodam tinua multiplicatione di procreari. si Quadratus estnumerus supiicialis equasi bus Iarenibus consistens.4. Ccubus est solidus equalibus constens Iamrebus. . CSimiles dimimar nunieri siuperficiales fise Midi quorum Iatera fiunt proportionalia. Propositio. .I. lluimeroru3quom tetmiuinuexportionalitatis extremis ierint contra se primi: Boci, sumι dum suam a portionem minimos este ne eeim

nores quod esse son potest. ' propositio .2.

- Umeros quotlibet continue Maionalitatis i pro moeni datam minimos inuenire.vnde mal nites tuni eritim si mreint tres numei icontini regi porreonasitatis Fin eam minimi duo extremi erut quadrati et si mea intutuorei ut extremi cubi.

3 mimori quotlibet cottiarie proportionales 1 iadum suan portionena Herint inita: mi:omo eo extremos se primos essen sario coprobatur

C Hec tertia est conuersa prime. Sin n.αb. Sc ritimae

134쪽

3militi aditima assignatarum p portioinini in Illi itimis Immemm ipses proportiones conti ima tim promasonalibus mimum

hac t5eqna illis quotlibet alias sine ol offendiculo cotinuare poteris, Dropositio . -litum duonam numerorum compost imp

od proponit. 14. tide luperficiebuς equidistin

tionem proportio. a.ad b.composita est ex eaque est e.ad.e.ff ea que ed.ad.Lquod es propostrum. TNee estneces tum ut continuemus proportiones laterum uidelicet eamque est e ad.etae eam que est.d M.Lin minimis numeris repertiuem doctrinam precedriatiς docent quidam hoc enim est proposito Heter necess)rium. ε Arguimi enim positos illi minimi sint.b. latam sit.had. .simi. .ad.e.L M.t.gmt.d.ad

quidem sed non necessario assumpto. indi, sino .6. numerorum quotlibet continue proportionalium primus iniundum non numeremustus eo numerabit vitimum.

CSintia.b. d. e. continue proportionales .dico si.a. non numeret.b nullus eorum numerabit. e. nilegum. --- aut elusi ipsim mimeret oeci numerabul.ea simplicuer

135쪽

UBER

quilibet precedenς quelibet scit uente. 7 Si aut ng numerat lym pateΦ.d non numerabitie nec simpliciter aliquis eorum proximo kquetem quia sint politi continue portionales. 7 Sed Φ nullus alius utici mime rei sic constat. Sumantur fm dominam se de huiuς totidem minimicontinue portionalas in .pporti erade quot sunt ipse.e. goes sequentes qui simiLg. b.erunta 2.3.huius.fff.h.contra Feprimitst quia st

intimu numeret a ipse et inundu inimeradit.

Sint qui prius continue vortionaleς. dico si amunieratae.ipst numerabitabo alioquiri ex premissan5 numeraretae quod est contrarium fi impossibile. Non 'lum aut

l -3 inter duos numeros numeri quoiubet in conti

Riseni amomationalitate ceciderintreotido interonii dis in eade3Noportione relatos indere ne

mad fg quia ipsi sunt in sua portione minimi per M. s mi et sequitur

nue portionales:queadmodum fiant.g.h. l.st Ideo queadmodum. a. e d.b.quare patet quod dictu esLEEx hac constat nulla septicularem poste per equalia diuidii si enim hoc e et oporteret inter duos numerotibia unitate dirites nurnerum cadere mediu quod ee non missi ideo toruis in musica que semininaua cotinet ortio 1 duo uria stimitonia diuidi non p5t:m necessario Gliditur in minus semitonium fi maius.

Dispositio .9. R. I inter duos numeros cimtra se primon numeri quom icontinua proportionalitate ceciderint:inter utrinam eonam et restatem totidem continua proportionalitate caderenecesse est.

Sint .aee b. cotra Ie primi inter quoς cadat incolimia Ε - 1li,por.c g.d dico totide erunt continue portionalesu tenactunitate: itemα totide interib.ffunitate. Sint enim in illa poretione minimi. ect flumpti ut docem . mit ex quibus firmant troecontinue proportionalecte minimi in eorum oportione: put docetissida huius qui sint g.h. .deinde quatuor qui sint .Lm.n.p.l hoc totim fiat usquequo sic filmpti fiant totidem quot fiant numeri proposititui simihic.lm.n.p.Cori'uita cum sint a c.d. b. in sua sportione minimi stprimam huius:sint a m.n.p.totidem e minimi in eadem. Non sit aut

fionales totidem quot sunt interia. e.b quod est propositam.

136쪽

meri continua prisportionalitate ceciderint ambo URIbuolaui reris tondent continua proportionalitate lintercile necesse est.

vers, prioriis exceptore ad Libi essim premisse appositum eratia.g.b esse emtrastprimos quod non apponinat hicad passion qua propter universutor vi passio huius subie illius. uia igitur quotiens Unitas

portionales quare constat opositum 'inropositio .II.

3 Berint ambo quadratierrit 3portio vinus ad N in lalterum triaqSiuilam sadlatus illius proportio m Umloiiplicata Si ueroanabosuerint cubiterit por alteritis ad alterum mni sui lateris adlatus

Aul astemis proportio ii ipsicata.

quod egsecundum. Propositio .ΙΣ.

- mi I immerorum continue proportioalitatis uuis nin seipsum ducatur: i inde ducentur iub continua proportionalitate esse. Quod si item mi es ductos principia sua ducanti irinde quom pro auctos continue proportionalitatis re necesse est. - - lidenam in omnitas hoc modo productia extre miratibus.

nue quoq, proportionale in proportione primorum: per equam igitur propoli alitatem conclude. Dad .h sicut .h.ad. qtuod est reliquum. Eadem erit ratio quotienscium, primi in productos ducantur.

137쪽

Gropositio

quadratus nunaeruo alium quadratim nu meret latus quom smini latius illitas immcra reqbaturae,i vero latus suunt lamo illius inmaeret cidratus nimierat quadratum.

R.quU Inumerabit. h.quem si numerat necessie est ut numeret, b.

Taninon mimeretalec latus suum latus illius nu/merabit. Si vero Ianis filiam satus illius non nu mei et quada alus is quadratum illum no nume ral e exnecessitate conuincitur.

J Hec is proponit negationes conuertitque affirmationibus quas. .huius conuerti proposuit opponuntur: ut si sint duo numeri quarinati.apb.quorum latera.c.ff.d. s.a.nori numerat. b. quoqnon numerabit d. econuersis etiam β.c.non numerat .d.raecia.b. T Sit enim primo ut.a non numeret. b si ita .c. numerat.d.per secunda partem. s. huius. .a.numerabit. b.quod es contrarium positioni: sic patet pmu. TSecundum quoqi sic: sit .c.nonnumciet.d. lac, sua. Numeret. b. p primam partem.G.necesse est ut .c.riumeret.d.neces ste igitur ut numeret ipsum artiario numeratippinat quod est impossit bile TQuemadmodum mineces edi conuerti negationes oppositas affirmationibus quas. o.demonstra miconuerti: ic quo*necesse est eas negationesque opponuturillis affirmationibus qua ps remissὰ conuerti demonstramit conuertantur undeli cubus non numerat cubunec latus eius numerabit latus illius ecoue o quo status unius non numerat latus alterivitnec ipse cubusnumerabit alterum cubumet demonstraturautem hoc per premis*m adegrii ctione consequentis: sicut quod propositum est petas. idem, hoc auctor

non proposuit: scd per id quod propositum est ipsim dedit intellio . Gro mi O .16. Iolao numeri superficissim fuerint similes neces se est ratium manam iam fm proportionalitate otinuam cio intereste:eritin proportio unius nume

ri ad alte; sibi similaeue velut unius latet is sui adla

tuo alterino se respieicias proportio dumttata. Vinii P. zΘal e sint duo numeri.a.e b. superficiales e similes t dico

138쪽

TCorret .autem patet cum sit aab.b perdiffinitionem: Mut.Mad. g. plicata: que eadem est illi que est .c.ad. e.

Dispositio . Ir

merus iniimus numeris intersiit: illi duo numeri superfici Meo fundit similis.

CHec di conuersi premisicitiis inter. .Eb st.c.f b cotinua proportionalitate contritutus. a. e. b. erunt si pficialeς si limites. 7 Sint enim.d.g. e. rninimi in proportio qua continuaritur a. c.b. qui periri sitimi numerabunt a. c. equaliter sita ut fria se per eandem .c g. b. equaliter: si sit ut m venant litur per dirimitionem. a. g b. st perficiales et erurit etiam per diffinitiori .d. fis laterarium in a.αq qi g. g. latera numeri b. Quod autem ipsi intsimile, sic habeto. TCum enim ex d in .g fit. c e ex e in .f.ssit idem.c erit persecundam partem et .septimi. d. ad .e sicuti fad g perdiffinition rigitutia. fi b runt similes: quod est propo tum. Hoc aut multamu quod est a.st . b. esse sinulas: potest et itan haberi per. I'. e G.; ptimiis per haς

Propositio .f8.

13 fiserim diuo mulieri midi sum eo: necessee eis duos in eros contimiani proportioiralitate lintentile.eritcn proportio unius L lidi ad alaep sibi lii mile. velut clinistret sui Iaseris adlatus alteriussi respiciens se octionaliter portio triplicata. Τ C Sint duo numeri a. Db clidi similes dico O inter ipsos cadent duo numeri in continua proportio te. Sint enim latera numeri a. c. d e. latera uero .b sint.fg h. eruntq, ex conuenione diffinitiois numerorum similium c.ad .f. .d.ad .g sicut. e.ad. Sitigi mr m. c. in .d. ,.si ex Lin g. l. ci ut 3 ex diffinitione. R.gl si perficialeς g similes. quare pio. huiuς unus numeruς eadet inter mi r neduas fieta proponionem. c. ad f. qui sit. m. rillus him autem est φ .e in.R. fit a. st ex h.in. l. b.si igiε

ad .plicui. m. ad. l. quare.a .ri. p sint continue portionales in φportionee.ad.f.7 Et quia per.t0.eiusdem p .ad. b.sicut. e. ad .h.ffideo sicutic.ad csequitur ut quatuor rivmm .a.n . p. b. int continue portionales m proportionem .c M.LT Sunt itaqi interin .g. b. duo immeri.n ff. p. medii in continua proportionalitate suorum laterum interpositi: quod est propositum. 7 Corret. autem patet vim proportio.a ad b.sit per dissinitio sicut. a. ad .n triplicataque est eadem illitque est .c.ad. f.

ropossitio .19. 3 eis fiat cotinuam oportionalitate duo laueri ita iciminui isti tyuonueri solidisiunt alipsinasses.