장음표시 사용
71쪽
nata et hec non alia.Non enim est necessarium ut oli habitudo dua3, dimitatum sitsciria nobis nec et a natura. CNam proportio quedam induaetorum ut numero; . amaut contun v. Innumeris autemnor est pars hautpartes maioris ut demonstratur in septimor quare si in beis omnibus es habitudo certa gnota. CAt uero incontinuis e pro portio magis larga test enim in ei ς ubi minor quatitas est pars ς aulptes e maioris 1 talium olum mediantibiis numerisest proportio nota: igronalis dicimnDiciantum omnest les quantitates comunicantes t quia eas unae eadem necessario metitu undet omnes numeri Iunicomunt canici .omnes enim ip ς metitur unitas.TEst etia ubi minorno est ps aut partes maioris fi in talibus no est nota oportio .nec nobis nec ira lture.Dicitur , hec proportio irronalis:ff hee quantitates in municantes: unde fitrui quecunlproponio reperitur innumeris reperiat in om ni genere attinuorum:ut in lineis stiperficiebus corporibus e tempori bus: non autem econuerso infinite eribinsunt oportiones in continuit reperte: quas numerorum natura non sustinet. Sed quemn proportio reperitur in uno genere cotinuorum eadem reperit in omnibus illisi Naqualitercim se habet aliqua linea ad quamlibet aliam:sicle habet quelibet uperficies ad aliqua aliam.ε quodlibet comus ad aliquod aliuditi
militer g tempus sed non sic quilibet num saὸ aliquem alium:unde magis est larga proportioincontinuis.g in disci etis Exquo manifestum est proportionem geometricam esse maioris ab ractionis:q proportio nem arithmetica: omnis enim proportio circi quam arithmetimures ita tonalis est: geometri aureo ronales lurationales equaliter considerat.
a 4 e 6 a1 Uniuocasunt quorum nomen comune est ratiosub antie eadem ut hoc nomen homo significit sor g pla quoniam radem ratione fori est homo qua.pla.v. Equi uocauero quonam notrim comune diffra tio substantie diueri cui hoc nomen canis significat larestilem piscem fila a o 3 stellam Fedalia alia ratione ec. etia hoc nomesanum dicitur de urina ficibo in genere latente qui uocationes.b EQuando minores pars ut respectu .u.quando minor estpartes titis .respectu.u.e sic in ceteritae ε Ut linea bipedaliς linee quadripedalis quando pars ut linea octo pedalis Enee.rti pies.d C Ues:&. Io. respectu.ir.uel. - .repectu. M. , missinitio .4
'si oportioinsitasestsi militudo proportiorium.
Coii dicamus queest proportio.αad dira essetiam c ad-d. Oportio que ei mena. b.similis e illi que sinteric.e d.Ηre autem similitudoque ex istis proportionibus resultat dieitur proportionalitas.
. Amica est enim similitudo dissimilitudo uero odio stat contraria. Boetiuς in mino musice capitulo primo g.3LProportiones autem trin cipaliter innumeris sideratur.Boeti ut primo capitulo quarti musicen e Ista proportionalitas potest dici dupla tripla quadruplas quialtera sexquitertia M. ut fierint sit lintreproportionale continue.
Uantitatesqtie dicuntur conmiam habere proportionalitatena. sunt aliarum eque multi icia: aureusini aut eque sibi sine interruptione addunt aut
minarimi. Supposita diuisione proportionalitatis p continuam edis continuam dissinit membra dii iidentia. primo conia vana imo ut uerius dicam lupposita diuisione proportionalium p cointinue proportionalia e incontinuetdiffinit non continuam proportionalitatem:nec incontinuam: sed cotinue proportionalia i incontinue. Difimitio aumn continue proportioalitatis incontinue fati; patrist
72쪽
dimnitionem continiae φportionalium e 1 continue.er continua aut proportionalitas est cum quodlibet quantitatum eiusdem generis i qua
proportione prima antecedit secundam in eadem quelibet aliarum an teciali proximo insequentemiui cum dicimus sicut se habet a. ad. b. ita b. M.taff.c. d erit b quelibet earum antecedens 1 c sequens excepta primaque est 'luantecederingultima que editantu consequeris. 7 Et in hac proponio sitateriecesse est omnes quantitates este eiusdem v ricti mpter continuationem proportionum eo strion lit proportio interquantitatet gen diuersorum:sthecerit ad minus in tribus termiti
constituta. E Incontinua autem est cum quatuor quinti tum sum, suerint eiusdem geneti xivied prime unius due postremealteruistin
qua proportione prima antecedit 4ecundam in ea de tertia antecedit M. tamimmmdicimus sicut te habet.aad.b.ita. cad. d. emi earum queli bet aut tantum antecedens aut cons mens:nec est necesse ut sint omries quatuor eiusdem generis sicut erat in proportionalitate continuat eo , consequeris prime proportioniς non continuaturantecedenti te det
mobile e ut sint eiusdem generis:ss possibile est ut sint diuersorum. Sinum contingit lineam mmio ad lineaaut triplamilia si perficiem ad superficiemi corpus ad cor viri tempus ad te pus: fi numerus ad numerum.CVM quid sit continua,proportionalitas. quid incontinua explanemus diffinitionem continue proportionalium p missam. 7 Quantitates inquit proportionales continue fimi quaν eque multiplicia aut sibi sint equatiata eque sibi line interruptione addunt aut mi
nuunt:uerbi gratia. Sint tres quantitater eiusdem generisI.b.c. ad quas fumantur.Staseque multipliciatui sicut d.est mihi plex ad. a.ita. e. sit nul lex ad.ΚΕfad. c.enant omnes in eodem genere.Multiplicia.n.
e submultiplicia in eodem mimiere: sit* ut.d.e.faut sint equalia assi uicenitaut similitπω habrant in ad do aut minuri dolita poetid. addit 'peridiaut minuti ab ip*:ita.e.addat L per faut minuat ab ipso Cu hec inquam multiplictasse se habuerint erunt tret quantitates a. b. .eontinue proportionales. TMultiplicia aut no intellisa; similites sie iea habreem addendo aut minuendo quantu ad quantitate excesis i ta fium ad portionetaliter.n diffinitio ere 'Iμ. Nam quamlibet quatita rum eiusdem generis equis se di nitis excedentium eque multiplicia
acceptae iis etiam dis intus st excedimiiun similiter se habet in addedost minuendo quantum ad quantitatem excesstis.Nec in priores quantitates stimeonti eproportionalestimo mirimo es semper maior o
portio.TH aut ideo euenitqii eo multiplicianori similiter se mee duiqvaritu ad proportione: led salum quitu adquiritate excediistes .n. stibi in minoribus mulisticitar maioroportio. U Uerbi ar itimatur , tresnuminequit distraetiisse excede testinae diatet uidelicetvit1rmeticeiat.2 3. hoν triu eque multipliceς equalitersi: cedui.dupli qui de binarisiuisitemario.gsic de ceterisinori tamen stata. 3.4 ectinue Nor e tionalia: imo minorunis est maior proponi resterii missorum. Urtio sexquisierat e maiorum sequitertia.T uia ergo inter eos no e similitudopportionum Non erit inter eos p rionalitas: g ideo ri conti rivariis inestinua TPatet ergo similitudine illa additionis aut dimi
nutioni trio intelliis quantu ad qualitate excessi sed quam ad tortionε.UErit ita pristisdifinitionis premisse. Cotin uorti alia sint q/rsima multipliciaequalia fiunt corinuetportionalia.Tsed notat ipsa Ei itione ponere fi bbac fumatquiarunc di iret idem per idemia partem rei: est istud stra diuisitione comi inibile.Tres aut quantitates .a b. Oportet esse eluta generi ad hoc ut earum miltipliciasMinui cce alia snt aut similiter sic habeant in addendo aut minuendo.
multi silicia eorudem diuersorum generum: opter hoc et, titulta plicia e multiplicia eiusde sist generist quare.ssino e et rilis.emec ea maiori
73쪽
aut minor.Nabitates diuerso gmn, nomi aditurice compar silan
a 4maxime geometre interest de pontonibus e natura ipsarum totaliter distrere.Nam arithmeticiis no inuenit in Oibus numeris p portiois modos qm infinite fumiportiones quasnatura numeroν non patilint in isto per Campanum abatur. EQm aut ipsa portionis cui deratio extenta est fi lata fi applicatur fere omnitas adinvicem comparabilibus
sin magis j minus. Ideo mi hunc conceprum coem potest sic diffiniri.
TProportio est aliouorum adinvicem coparabilium uniuς ad alterum caea Dabim .uerbi gratia.ut numeri adnunati a mamirudini bad ma gnitudinem 'ni ad sonumitem ας autem si incit ad motumi humoris ad humoremis,poris ad seporem: loris ad colorem M. eometet aut trahit intentioem proportionis ad magnitudinem habet eam se diffinire. proportio es dua 3 qualitatum eiusdem generit unius ad alteram certa habitudo.Dico aut eiusdem generis quia 'la talia compa rabilia sunt.7 Diuidimr autem proportio in duas spesqueaccipimur in comparationead quantitates Nam quantitatum quedam stat comunitates suae menserabiletiquedam dicuntur intoicantes siue incomessabilest coicantes dicuntur ille quibus est una quantitas comunis eas numerans Dicitur aut una quantitas numerare aliam.que fis aliquem numerum accepta mucit Ummi ut linea pedalis bipedalem uel tripedalelineam. Sunt igitur quantitates comunitates sicut linea bipedalis e tripeda lis quaς pedalis lineam binarium fit artum numerat. Qualitates uero quibus non est una comunis quantitas eas numeras dicatur incommsurabiles cuiusmodi midiameter quadratist eius lanis.itati v fm hoetae portionum spes.s.Gnalis fit nonali sipportio ronalis debetur qualitatibuς coicantibus*a quo effoue. numeris sola debetur. Itinnalta aut portio qualitatibus incomensurabilibus debet inumeris hero neq qcopetit.TUn mant seque ad geometraptinetφportioixessideratioteta orsφpomo est magnimdis sed n oaspportio diuersit Proportio rimatis denotatura mediate ab aliquo nuerotin n.vitatu coicatiuoportet Φ fm alique numau minor uel aliqua pς minoris maiore meret:ν quod dixit Euclides vastu in. decimi. otum d ymitatu micantium opportio alterius ad altera tanq pportio riueri ad num iaDiuidit aut
hec speς fm oem modunamque diruisa et portio arithmetica ina alia est emitatis alta in ualitatis:fi oportio requalitati si dividi i alia maiorisialia minoris inequalitatisil utra accipi inter eosdHerminos eode ordie.Prima .ri.e habitudo maioris termini ad minore. Puda minorisad maiore ecouersis Et utra m et i spes iubdundit. maioris iequalitatis speqsint portio multiplex proportio stiper particularis φportio superpartiens. I tem proportio multis suppanicularis fi proportis multiplex superparriens. Totide spes habet proportio in usitatis minoris st eisde unit noibus addita prepositione iubes dei ν diuisitat
ς dicit arithmetica non oportetplus insistere. U Proportio aut irrona .lis non notatur sc immediate ab aliquo numero ab alia uor ne nu merali qmn5 e possibile ut m alique numerum psaliqua minoris ma tore numeret. CEtingitis mediate denotare irronale anuincto ut γportio diametri ad costa e medieta portioniς duridie ita capiunt aliae spe portionis huius denotare eamnicio Diuidi aut hec portio in duas spesqaccipi uri penes parationem ad quatitaret men abites lad modos diuessificatiois in eis ut linea ab quedasium incomensurabiles
in longitudine tan: quoia mi icomensi ira silex in logitudines mul in
potetia Incomesurabiles in logitudinesimi linee quam l5gitudines notoicant. Si aut superficiet quadrare in quas possitat coicent. tuckint1G. men*rabiles in logirudine timcgicantes aut in pote . Ethee spes mi ma ut latus quadratist diametri eiusde nomicant quadrata aut eorum
coicit mi, portione dupla Si um piperficiei quadrate in quas pos init
74쪽
elinee inreme irabiles in longitudine sirit linqua superficies incoicilesime ille linee dicerent in in irabilis in longimineginpotenta. Ethee spes distoenda exma plumes raccipis linea medio loco proportionalis inter diametrio cogam fm in docet.ψ.meti irimus. Ibi n. 1anu quailiati ex illat linea media inuinta fiant incommmiurabiles in longitudinei liciat e ginquia cum extrema sit tincon diffabilia inter se erant fi trico micanti acu medio quod edim tinuam sportionalitatem inter ista timidueeedem linee in mensi irabilis in potentiatqm qua ista emam non coicant. Na ex decimast ima rati otium tria lineam continue proportionaliu quantae prima ad tertia merit g quadratum premead quadratu lecude. Pnt aut bee spes utral nabdiuidi in tot spes quot modiς accidit lineas uel sic tale incommenturabiles. Namno resu line epos antee incomenserabiles in logirudine idum se hnt
sicut diameter si costitis,1 alii; modis se biitissim 'rtet ismitu. similita dico delinet; incomitiarabilibus i logitudine fi potetia. m n solsi mi ta
niaad secunda et tertia ad quartisunt quam Dite et tertientuInplices equat naultiplaeibiis sectae et inte equalibus mei int similes vel additione vesdiniinutilae equalitare eode ordine sumpte
ta CPost ali perius di nitione quatitam cotinuet,portionaliu.hic ponit diffinitione incoliniae Nortionaliure est Φ mlibet quatitatu quam prime Ciercle eque multipli ita supra fierint. iteque cude g qne equemultipliciatiuerit multiplex prime sic se hsς d multi plex se de situ ad additione aut dimi mitione tectualimia sicut multiplex tertie ad multiplex trieterit Nortio primereatu ad secura sim ter
intelliint hic sicut indisti os cbnfiniue imiti allu:indelicet n6 quantu ad qualitate excessit u sed quam MC ad aut dicit eode ordine rumpte itestigat sinit expositu esuidelicet ut multiplicia tigrestian adinvicεm ordine αν ettitatu: bus eque multipIicia a uritu ruri ut multiplex sanie no reseratia multiplex tertis: t multipleτ iecudead multiplex quatteisti rem μὴ primu ordine r M . . qualitatu videlicet multiplex lime ad multiplex Rudes multiplex terile ad mul. tiplex quarte. Erit ita inanis istius diffriinoi In tinuet,pomonales init quarum qualitates oportio prime adsecuta e sicut tertie admia vi sumptis eque multiplicibus ad primi tertia. I tm, eque multiplicibus adsceam g qta erit portio multiplicis prime ad multiplex, udetsi eut mul*1licis tertie ad multiplex quarterim no di itiit si b hac' a
satet necesseerduri multiplex prime ad multis lecudenti iusti ploimieadmissilex sicinori aut multiplex primead multipl tertie aut
75쪽
ila emana quia nisi st multipliciu si ptione collatum terimini prime φ
a CNamsi a. natur.6.l b. .ciu ero. .Ld.3 elumant multiplicia Ni iter inputa duin ad inium gieniam erit.f.1o.ff e .n Item ad Iecundae quartam is dupla mint.b.s.ffg.8.que multiplicia in ordirie suarum quatitatum adinvicerii coparata arithmettoeeodon modo letati niscindo equando fminuendo:nam dupla p quaternarium ut patet it m
plast imatium si sic in ceterust inprime ad se elidamno est sicut tertie asquartam na illa est sis altera alia Libi partiens tertiaς g ideo geo
metrice debetintelligia Intra. .gnti cl-apebit multi picta tali terrelata adinvicem Noptum cocludere et in.Llexti. Idem. b CExemplu
eodem moao.6.v.f. I dest non arithmetice led geometrice. cEBoetius .et musice capimio v.*d inter hasti es medietate si ortionalitas sidenriel maxime geometricanuncupat lacu eo qm eqs portionidias i ta contexu . Sed in eodem utemur misciae irinrisaeo sportio,itates et ceteras nuciipantes uidelicet arithmeticam fi armonicam. dg Sicut numeri caput esturista jei Nortionu mittatem re micipium Boetuis.x- musice capitulo. .ibidem ostendit qualiter duobus modiς propoetionalitas aritia metica procreatur exemplis inmmis in numeris.
Uantitatesquarum proportio est vita propor
nales nominantur. CPostquam distiniuitquantitates continue proportionalis st incontinue diffinit quantitaret pro Urionalem
simplieitis e patet di nitio. Dissinino a. Ussuerint pr m et terne eque multi ires. Munde et ijarte eque multini Laadam multi exprimemper multimicem secunde . 'Mon ad det autem multim tertie super multiphcci quarte dicemrpnmaniatoris proportitans ad Iccunda*tertia ad Iram.
disi Unires quatitatibus t otionalibus dimit qualitates in proportionesta.Sunt asit immoponionales inter quas 't disimilitudopportionum quod cottingit dupliciter aut v maior dit reio sime ad se rasteriis adqrtat aut v minore io eius limidiae spes.Prraqfimaior elyp rtio simi ad rem si tertii ad ammte dicit hec maior inimo morialitas.CSmandauero qn minor est proportici primi ad scomet tinti ad quartum: dicitur minor improportionalitas. λissinit ergo eas inter qua est maior proportio primead secuniam gimie ad tamqes
maior improportionalitastdiffinitionem aut earum mter quas eminor
portio premead secundam: a tertiead quartam non ponit quiatri, patet ex alia CCsi igis fierint 4.quantitates ad quaygmam e tertia iumpra sint eque multiplicia. fi ad resiam e quam multipliciale multiplieta Ime fiscae relata adinvice non se habebui similiter multiplicibus
tertie equarte relatu adinvicem in additione diminutiones equalitate ille. quanti res erum improportionales.CQuod si ita fierit multiplex pinest equale multiplici sc .multiplex ureo tertie sit minus multiplici quare . Aut multiplex gine sit maius multiplici sine.multiplex asit tertie sit se aut minuς multiplici qrte. Aut multiplex sime sit matu multiplici rede: f similiter multifex tertie mulsi iei qnetu min us exceddit quarum ad portionemnen quatum ad qualitate excreta
multiplex pine multiplex aere multi ex tertie multiplex qrte. Aut multiplex 'me sim ntis multiplici κω.fi sit multiplex tertie multipli ci Ute. rumin minus minuit quatum ad portionem no quaru ad FL
76쪽
i distinui ei latitudine hei ad istos. .modoς di xstiptos cophedit. -istius diffinitionis e cu Lomptissic multiplicibus ut proponit fierit maior .pportio multiplicispinead multipi fecude niati ic sto fiead multiplexqrte: erit maior proportio 1 meadfam ἀ tam adqrat fidiffiniuit aut L.b hac briari pyco cam us di M.Uelpo sumus Acere st additio multiplicis sime rus multiplex lecude:e non avaritis, cister tie multiplex que:de qua loquitur in pniisse di itione imitoris in proporti talitatu proprie accipitur pro 'ba diffinitionis sonat te non
fera tedit nisi ad scumqtuor i 3, modo ,:licet reuera quolibet iiis rum qium modo; sit maiorproportio me ad stendam adq .ufi miti illius dimitionis αξ mmmissae multiesici ut proponit limultiplic, pnae rate maiori multiplici Iecsidemiit necariu iniviti In tertie sit maius inultinici inte: tuc int maiorπCrito stme ad sidana et terile ad mlam sp hoc aut ricinposuit reliquos tres additaῖς modoς in pdicta dissinitionei quia iste estillisolbur mari; planu; si addictam dissi
nitiinem suffictes.Nusa enim est maior proportio prime. . quantitatum ad 'cundam Stertie ad quartam:quin confingat aliqua eque multipli cia ad pinam et a repiti.Q uecum relam sucrintad aliquaeque mul riplicia secunde equarietinuenietur utiplex prime addere si pertingit ex fecunde non antrivi plotinis supra multi is quarte.Nec milco tingit bocri sire an sit mri PF Hi suleaduendam si tertie ad qt amiat demolitabimiis insta supra de a hum, sunt autene hee qualitat s improportionales diuerstrina . Primum sicut eqLatitates incontinue proportionalassi inter eas plerit incontimia inrproportionalitastut si dicatur maior est proportio avid b..c ad .d. Si autem 'erit cotinua improportio litas erunt oes eiusdim generis neces .uio sicut si rit incotinua proportionalitate.ut sit dicatur maiore noni Q.V.b.g.b. .c.
a CSuffcietis huius di itionis habitur ex. S. huius putui, ne dicte
B.dicitur. b issimilitudo uerbodioscam ntraria. Boetii uinani momusice capitulo stimo. Amica est enim si inlitudo. - 1
Postqvictor diffiniuit Nortionem Nortionalitatefiqntitates orti Hesssis N porti ci. dites sit mininavis nu Olennino inter quos pom5alitas pol si δ' re marina uilino ponit gail uno cotingit summeret potest.ri proportio qlibricinitinuari in minumfinitui sueti eritio natis, proportio suae v irrationesin Ad proportionalitatem aut exi guntur ad ininus due reor nes simile eo pportionalitas sit similituu dopportionum. Quest betaut proportio hetansffconLquens ergo ilibet xportionalitas inad minuς duo antiast duo cons quetia: hoc e impossibile fierii paucioribus a tribus terminium abus medius endi fiet ς. fico sequest fit opportionalitas erit cori iratqrem tritus terminis ad
animas erucontinua pmportionalitas constituta. In trivitia autem no erit in pauci cribras 'in . eo stan ipsa quilibet terminus 'tantum ante cedrustam tantum com queristidem intellige denunori numero tremi moriari improportionalitatis. Si enim fiterit continua.erit ad munia inter tres terminos. Si incontinua ad nimus inter quatuor.
77쪽
aliquo mero no desipiatur inaediatem dyametri ad colu s.ccbati. Distinitio Lo.
--α i l 3 suerint tres quantitates continue pro mona les dicitur proportio me ad tertiam proporto me ad Mundam duplicata.
Diffinit oportionemqegminextremos terminos continuem ortionalitatis in tribus terminis consiimtem ΘΚ e dicit si 'At pn,portio snimi ad secundum sicut madi ad ter mi erit proportio primi ad tertium sicut primi ad semn amduplicata hoc est ex duabus talibus composita. ESiue quod idem elli erupportio primi ad tertium.sicut primi adstam duplicata i hoc est imst multiplicata.uerbi a. innumeris Sint .3. meri continire proportionalestsint eotin dupli mi.1. S.proportio primiad tertium est 'ut proportio simi ad stam in semultiplicatat oportio asit m ad simul dumet duplai dupla uero in se multiplicata: producit quadruplam unde proportio extremisest quadruplarifidelicet duplum duplitus munda priorem expositionem proportio extremorum H sicut proportio primira secundum duplicata: quia quadruga constit ex duabus duplis. mininitio .HI
.m fuerint quatuor qualitates oentinue proportionales proportio panae ad quartam dicetur portio mead sciundam trinicata
CDiffinitproportionemque est inter extremos temsi Noscontinue proportionalitatis in. terminis costitute
SUM edicti si fuerit. .quantitare intinue portionales erit nonio sine ad qrtam sicut pnae ad se cudam triplicata. EMoe
ex tribus talibus composta. tale inueni uturin ea liuequod idem ierit xportio pmead quartam sit cui sime ad fecundam triplicata. hoc ein se.postea in produitam multiplicata. Verbi satin numeriς Sint qua tuor numeri continue proportionales sint eontinue tripli ut sint r. 3. .
inproportio primi ad quartum erit sicut proportio primi ad Ierundum 1 se polleain productum multiplicata: oportio aut nimiad Mundum εtri attripla ho in st multiplicata Nucit noeuplam e tripla in nocupla producit uigin lanis tu am. Nit ita sportio extremoν uigincupla septupla.quod est triplum mpli Vel fm priormi exposi nem liportio extremm es sicin proportio nimim scem triplicataim uigincuplate pruria constat ex tritas tripliti Non dimit aut proportioem extrem stestinue portoalitatis interplures si qmor te inos collimitan id si, dimensiones m rebus naturalibus repte non exceduntumarium.EDenominatio aut Nortionis duaν qualitatum quibus nullum intra ponitur medium het naturam linere. Ea 31 ino quil tu interponit una medium scotinua φportionalitate bet naturam fit ciet eoqd fit ex multiplicationedenotationis duansmammin se.Oetat quod ex multiplicatione linee:in lineam producit:natura het si pficies.s instetdem quadratiista oin altriam Parte altera longioris. Sed propcurionis e quantitatum denotatio quibus in cotinua proportionalitate duo media interponuntur naturam,&yliditquia prouenit ex multiplicatione denotationud νpmmim.Primo in ' ex qua multiplicationeproducurus ficies:derii deIn ductum ex multiplicationeprouenit solidum diue corpus: .
.n qd ex mulfiplicatione linee insupficiem producit crescit Hybdunti Est ergo ac si diceret proportio duarum quatitatum est simplex interuallum: bnsnaturam, licu dirilesinu retinerin imoalitas au/tem trium est duplex intemallimi:fi Mς naturam duplici; dimensioris. ut m estproporti alitas aut qtuor est niplex intemallum: tat naturam trine dimensioniς ut 'lidi. Et quia dimensiones ulterius non procedunt ideo non diffiiivit proportionem contentam initar extremos
78쪽
portionalitat sin quin terministatae tui niteonstitute. Nel non attfinivit proportionem in is quin earum Woportio hae ex predictis diffinitioni . SLn inmbus tinninuproportio extremorum congat ex pro portionesmorum duplicata: st in mor te trita collat ex eadem tripli cata:im terminis constat mead uadruplicatumriore eadem quincuplicata. Tun quemadmodum in tribus tinninis intinue proporti tibin proportio extremorum continet proportionesim m bis f in. terminis ter.Iicino terminis tinebitqter. ins quinquies.st ita deinceps. mp proportio extremorum in traminis cotinue Importionali bus toti Geontineat proportione simorum quot simi oes termini minus uno. 7 Similiter γων si Wmnio extremorum continue in bportionalitatis in tribuster mixeoristidire egeaques roducit portione simorum in se semel multiplicata: lin. in se bis mestiplicatarin quin terminis eaque ducitur ex proportionesmorum in serermultiplicatae inae. terminis matre:e sic semput termini fierim Golaiς plis es mul tiplicationibus istae ut multiplicationes imissiles mediis extremis interpolitis.Et nota st di in improportionalitate e tinua extremorum proportio producitur ex otb proportionibus intremediis. TEx ibi careret.In oportio extr&riorum continue proportionalitatis in tribus terminiς ω'Medenotatura quadrato in qtu Iro terminiis connite denotatura cubor quorum quidem quadrati fi rubi latus est denomina tio proportiolasmi adsecutam uerbi atin mimeris. Sint quatuor
meri continueproportionales qui sint confinire tripli.3. s. .8l.proportio primi ad secudum denominatura ternario. est enim triplatsimi quoad tertium a nonino qui e quadratus temisit nam laesi nocupla. At po propcnetio simi ad quartum de minatura. .qui e cuburdenomi' natioriiςproportioniςὸmi adsecundum uidelicet tremarii m.n.estui uncupla naria. WEt proportio extremorum in propcntionalitatis estinue in tribus terminis constitutedenominatura sepreficiali non qua et leuiuslatera sunt denominationes V m proportioniam in quatuoruero terminis constitute denominatur a solido non cubo.cuvit tria arlatera lint denosationes irrum propcnetionum.quod ripatetinnumeris. Sint qumor numeri continue improportionales: qui sint.x. u. .in
quibus vortio simi ad kcundum est misecudiari tertium triplai gideo simi ad tertium inrupuitertii uero ad mqd largiae simi ad
qrtum uigine laqdmpla. Senarius ergo qui e dinotatio prc rtionis smi adtinium est iust alisleurus laterarum duo et qui Miderio mination arum primarum maculi orium.x uero etes denominatio proportionis pnii ad quartum est solidus cuius latera sentir 3 Ε .et simidenominationes trium proportionum inter illos morterminosenti
e Exque ridissedimi pa smies de proportionalitate indisfranter
intellige scilicet aritia metice figeometrice quoniam uir i modo po fimi gnari quanti ines nide Draportionales geometri fi portio Ictar metieest 'utre I eontumest discontinue respectu e mmdem raxmerum fi druer'minines uest. iacotiue my fimie de generis egeometrice siue arithmetice fi ineontinue possunt me diuersorum fietussiem indisterenter. Sed illa geometricabat,et attmdi penes opor rionem quo ad equalitatem diminutionem additionem e illa uis metica soliimpenredis aerentias oeceu .Et sic itelligas dei proportionalitate utriuri maiori e minori eo intast incontinuasse ut per te 'elliter deducta cuius ingenii non dissido tam p. etiam quoad compo
stionem proportioins extremo in tri se in quatuor terminis continuet quia Dat geomericatri tribus terr iis primi ad tertium constat exprimiad mundum duplicataq ad proportionem etiam arithme
iura quo ad dimentias ex illa duplicata lin. αν - sicin ceteris
79쪽
iiDitis .I2. Ualatitatesque sum in xportione una. alitectata ad consequet cinet antecedeias ad consequeiatem ditatur econtrario sicuimus luens ad alitecedentem. sic consequens ad antecederitem . st penam pernnuatim licui alite cedetis ad alite dei item se etiam consequens adconsequentetu.
inimit ecies portionalitatis que 'n .F.uidelicet conueris permutata.disiunctat coniunctarriteri ι:ε equa. e Sunt alubres cita iquidam modi arguendi: dismis o primo conuersam proportionalitatem e premutatam: in quibus manent antecedentia g con,quina eadem fui substantiarniquod non est in disiuncti: coniuncta aut euersat in quibus nihil extra sumi inuti nequamocat aute antecedens prima ex remum propcnetionis: n equens uero uocat erundum. e vult ita αper banc diffinitionem si fuerit proportio a.ad.b.licui. c.ad.d.l tu ego conclud tergo. b.ad. a. icut. Lad. c.uidet uelut 'ciam deante cedransbuxebri queritiae de consequentibus antecedent,at quod illem diis argia Sit uocetur nitetalitaseco trario siue ecquersa. 7 Stasit stea uam Mad. b.licui. .ad.d. ergo.1.ad. c. liciat. b. ad.d.mdclicetutambo extrinia prime proportionis:fiant antecedentia: eambo mirema se cunde continuentia.uult ille modi arguendi uocetur propomoalitas permutata:ffinitio modo arguendi fit antecedis tecunde proportio niis consequens:ffc sequens prime antecedens
Carumni iconluctam disii inctam fime tam in quibus etiam hilal mra si mitifrsed te minori manmt in ipsis idem msi brantiam emit si ita suerit ut sit.a. b. sicut. c. ad.d.e ego hoc concluda. ergo totiuς a.b.ad.b.sicut totius c.d.ad. d.st iste modus arguendi dicatur proportionalitas conuincta.
miffinitio'. 4. Vtarctavero pipo notialitas dicitur augmentorum antecedentium supra Mnsequeri aequacomparato. ε vult'o, si 'erit proportio tot luca b.ad. b sciat tot his ἶ e.d.ad. d.ffex hoc ego coraeludam. g a.ad. b.sicut c. assid, siste moduς ararendi uocetur disium proportio
Dininitio .S. Nero proportionalitas dicitur quorun iubetante cedo num ad aram tenta sui fiasia crasequentiasua
laua pro monalitas dicimi quantitati fus Irinais propostiis athisinsecundum eundem rum friam in Ulai portioneapnicatis medio una silli nnmero rmoto viro uniae tremorum simili nido portonum.
p retionalitatenique ad probanda 'propesitum Edemra' silmi .giniit si sumanturquotlibet quantitates o Memines Esinteius- generis cum primis. De 'a' u ruf. d.ea inhi Dunde proptinetonb primarum siue eo deni cr ne . ut si dicatur a . ad , b. sicut. d . ad . e. b.ad.c vitae.
80쪽
um c. m. Supta sunt lar me rettium. g. b.em multiplicia. It ad re fi*tum e gfeque multiplicia. Et ga multiplicia pinie se rediqμt vff.e. militer 1ehnt multiplicibita remigmti i stat h. 2Ladin illae a Minoe dimirinioe e litate.mip dictam di itinem sportiob lymi.M.a.lecudum sicut d. tertii ad.c.qrtum qdest positum. Constat ita et modus argutat q G cou φportionalitas.CHuivς aut sinti libri sincipia plurimis difficiliniae,9 uiit equibuςda conclusio: ς eum ex . ipsi demonstrati magiς ab intellectu illatia Nihil.n. intelliatili iniedia civi adherere q dua3 quarumlibet latitatum equalium sit ad tertiam qualibet una portio quod in huius quinti septima demonstrat ext e nitione incontinue portionalitatis qab intellectasimo usq priri
trium esse remota, alium.non 'cilius duaν alitatum' uimad aliquam tertiam eadem esse Nortionem caecedatiq. qualitatum si multipliciasymest tertie est iter sumpta multiplicibus iecude fqrteriliter sumpti; similiter te habuerint in additione diminuti est litate es e p r tionem sitne ad cudam sic uterete adqrtam V si si btiliter intuemur liquido ciris labit no posse uniri intellectui Nortio duap, quantitassi equalium ad tertiam sit una.m p quidest esse portionem unam. Si ri. quis ignoret quid est Gle Nortione unam eadem sportionem alteri
cognoscet du qntitatum Gium esse eadem ortio ad tertia.. 7ndiget igitur oculdubio intellectivantestillam a uidebatur coapti hiluppositio apprehendat huius rei que p.iptas di innitione habebitur cognitaee. 'nodum ii ea diu mitio abiis quatitatibus equalibi ad tertiam coparatis coueniat pira tioe.suod si diffinitio inueta fuerit
illis quatitatibuς esu recochrdet positu. Sin asit oppositu. No e igitim'diata propolitio qua superficialis apprehensio a mediatam indicauit. Similita quo ι inaediacius iudicat ima a 'hensio adherere intellectui duarum quatitatum in lium maiore sipponi,n oris ea3, ad aliam et minoris ad eadem. Quam demonstrat S. huiusη quod quantumni sit maior portio sime ad Idcundam si tertie ad quartam. multiplicibus ad gnium fi tertiam misiter mis. Item aliis ad lecundaequartam fi ualiter multiplex prime addit super multiplex se de gmvltiplex tertieno addit si s multiplexquarte ex quo que illa est propositio demostratur: ed similiter nee ipsa potest intelligi nisi p quid eret Cretionem maiore.α I gitu portuit inclidem q quantitate, di turg,portionaleslfiqimmoportionales dissinire.Proportionalci aut fani qmm portio unae'.st Importionales quo uortiones diuerte. Ita diffiniuit quantitates qua propclario una.fie in qu)bus con timi cie tremano disi iam mediis quas vocavit continue proportionales.edi
rithmeppintior alituem in tribus terminis ad minus exigere N hoc