장음표시 사용
141쪽
oscii .ad.b.per. .autem octaui cum.d εα mi sup sales similciici, Φiunt ambo quadrati: eriliter emunm numerus meduum cotinuam propor.perAE.itas eiusdem erit etiam imis inter.a. .b.igitur perni P. eius dema. .b.simi superficiales similesiquod est propositum.Prima H eorrsipatet per premissami iunt momnes tetragoni superficiales similes. Se ita patet ex hae rum sit 'luς tetruonus similis tetragono. Tertia psPatet exprima iritus correi.parte ades ctione conjequentis.Quarta uero patet ex eiusdem parte Iecunda a destructione etiam conmueritis.
'D ossa tro .3. Inumerus curuas in seipsum ducatur qui indepaucetur erit cutias.
- 3 numerus albus in numerum assum ducatur:
meritin du scius in quem ductus est numerum cubumeeirecesse est:viade et manifestium est:*evdu ciuesin non cubum pruducitur noctibus Ductoch cubo in numeru3 aliquean fi fuerit qui ista de producitur non cubus in quem ille ductus Meritiamsi est re noncubum.
. Sit enim ex ambo in.b.num mproductus. c. bus dico.b.essem humitat enim.d.ex.min se quis ante premisi. m erit cubus: sta igitur eper. S.Ieptimi.a.ad.b sicut .dad.c.el .a.cubus:*d .d.ffcicubi erit per H octaui.b cubus quod est propositum. Prima pars correl. patet ex hac quinta a destructione consequentis.1ecunda perpremis*m similiteradestructione con quentu.
Ibispositio .6. I ductu iusta numeri in seipsum ciabus producatur eum recudiim necessario comprobatur.
cubum: quod est propositam. 'DMpositio .m
l rhym p. mpositus innumeriam quemIibet
dir atiiriqui inde adiacetur erit solidus.
ex diffinitione folidorum c. Folidus elimbutera.e d. b.qdegppositum,
143쪽
ου Npositio . o. nualeris quotlibet ab unitatemIitima a propor noalitate dispositis vilitate svirieono quadratuctment: lo eri talio quisu quadratus Maeeptis, lintexertio ex Dis qui deiiuem uno semper intermisso reperiunctetragoin.Si vero secundus ab unitate non firmi cuinasmulsus ceteroru3 erit cubus exceptis ab una rate quarto:etdeinc- his qui duo;r sem Y per intermissione formantur cubici. - CHec ex oppposito ilibiecti premust instit partem oppositi passioni stdico autem partem qm π.S .constat omnes impares esse quadrat it omst nes*γον lociis stipertemarium uel quemlibet ipsiu1s multiplice addit unitatem esse bos 7 Sint ita qui prius abunitate continue Nornoa ae les non fit aut .a.quadratusscd nec cubus dico nullum ex omnibus es 4 quadratu aut cubiciim nisi quos octaua proponit.T Si enim quis altup ponatur quadratust quium petam.octaui a. esse quadratum. Quod gcubus sequiturpe G.eiusdem.a e lembum quorum umimi contrarium
est ypothe. Constat ergo propositum.
nun eris quotlibet ab riaitate continua pa3 2 tici alitate dispositis aliquis mimerito primusvItimum numeremum quom qui unitatem sequi
Sint in a.d. ntinue proportionales ab unitatemfit
Droi sitio .I2. I Mnumeris ab itate contiaue pro amesibus I nivismaiorem numerat pari aliquem in illa /I milionalitate dispositum.
Diu filio . 3. ollibet numeris ab vilitate continue pMportionalibus siqui vilitate sequi emerit numerus mPlinus maximimeo; nisi cenumeris initia imporitionalitate dii sitis nullus numerabit.
J CSint ut prius vi Iad.d continue proporti ales abunLia Aq.mnum sprimus:dicost nullus numerabit ultimum nec sim.
144쪽
ygi tinguem eo , nisi aliquitem Plante itultimsivel cia qui ponim numerar Sit enim si post bile est didiuer,s ab eis qui numerri. d. qui si fuerit primus mannum bitia. 5 igitur est.a.primati quod eces ua ymine .p Si te ipse semicopolitusnece te estp.3o.septimiiutalias
sam quotiens orerea mptam.Non es igitur.ealiuerius ab euiq4s etiam eontra meritati constitu , esse quod1mponitur.
ropositio . . 3 propositus merit nummas minimusquem im Linerant primi ignatino numerant in aliquis numerus primus praeterissos assignatos.lle Sitia minimus inctus numeratus a numeris primiς laiunt.b .c.d.dico alius primus pinereosnori numera bitia. Sinautem sitie.primus numerans eum m. f. quia movi libanumerorum.b. d. merat.a.productum G. e. u .festautem illibet rimo primus sequi rure 33 1 milut quilibet eorum in meret emes.f.sed.emullus numerat cum sit primis: quilibre ergo eorum nummi scum ita sit.fminor.mutpote qui numerat eum fm.e.no erita minimus metatusabillis quod est inconueniens.
stro filio as quotlibet numeri continue proportionalas finimam tioireni fuerint mirum uicunm vii quem illotiam numerat alteri terminorum illius portionis erit commensurabilis.
Suit.a. b.c. d.e. continue Noportionales e minimium proportionem.fad. g. isi infra proportione minimirg riamr.hmumerarea.dico .h.esicomelinabit infuset. 7 Sumantur enim inradem proportionequatuor minimi qui simia αLm.
constatautem secunda octaui stericin.mari. alioquin contingem
145쪽
esse minis minimo quod es lenon potessii per coiret.n, Ieptimi erit h.c5mensurabitu.fvel.m et, rusconstat propositumisi autem.m. svmantur in eade proportior tres minimi qui sint. p. q.rtam Ct Loenda octaintvtim frutex.Lina.neminux minimo aliquid esse cogamur concederet quare perpredictum con et .h.est commensurabilitasvel rised ri5 erat f. sic enim constabat propositum:commensurabilis igitur est. r. qui cum ex Imrida uis tex.yin se sequitur ex dicto correLvt h. sit comme
parabilis.g. quod estproposirum. positio .IS 3 sierint duo inmieri quot et continue por tionales in sua proportione minimi quilibet eoru ad compositum ex reliquis primus ei necessae rio comprobatur.
Sinta.b.c. d. minue proportionale fi minimi. iaco composilmm e a.b.c.primum esse ad. d. Si enim numerabit aliquis numerus qui sit.αcompostrum π.a. b.c. g.d. per pre missam igitur erit. .comunicans alteri terminorum illius proportionis qui stant.fgverit ita numerus inquisnumerans.αε alienam duorum fg.qui sit.h.quia ergo.h.numera Le.numerabitid.ffcompositum ex. a. b.C.st quianumerint.ves .g.quorum ut numerat virm mediorum e simpliciter omnes si plures duobus sint i ex se da octaui sequitur ut ipse numeret.b pc ergo La.quia numerat totum.a.b.c. non sentistur
constabit compositum α.a b.d.primum esse ad. e. si enim ut prius. Numerat ambos in uinis per premissam vialiquis numeruς qui etiam sit
ad.b. uitur ergo compositum ex.a.Lc.primum ere ad. b necesse enim evi ex duobus compositus eu primus silerit ad unum eorum ex qb componitvri sit primus ad reliquum.Demonstratum autem est hoc supra. 'septimi. Oportet auigabilire ad robur illius demon' ationis compoli tum a. b produci .d.incomposmm .d.f. .f positost ex d.intefitia e ex eodem m.rib.item si, ex.d.e.in se producatur compositum ex a.q.c.e duplo.b.supposito eo quod prius est .e inlesit. c. huius ita gratia proponimus hec demori'anda
ε Quod fiter orictu unius numeri in quonibet tantum ci quatum quod erductu ciusdem in coni positum G illis.
146쪽
- d fit mictu quom numer uimum equum est ei quod fit exo posito eorrum inemdem.
a Aoc est conuerrum eius quod modo dem statum esse visi emb. fi c. dan. a.fiant .st fg .fiet quo I commistus ex composito in eund Me iis timii predemonstrato incile concluditur.
Quod fit ex ouctu quotlibetnumerorum in quon- allos: mineci quod sit ex coposito *mcopositu illorum.
numero in ossiet partes diuise: tantu est quod fit ex in to eo in se quantum quod ex eo in omnes Mas parm.
α Mumeroin ono diuiso quod fit toto in aeterum diuideliutantum est quantum quod ex eodem in se et in aeterum.
α Humero in duo diuiso quod ex oum totius inici est quali tum quod ex ductu virium diui ilium in se et alterius eorum
numero per duo equalia duo Biequalia diuiso quod fit ex maiori inequalium in minorem cu quadrato intermedi, equimest quadrato medietatis totius.
Et dem proponit de lineis quinta secundit utrua.b. diuidatur in duos numeros eqstes quilinia.c . c. b.item I in duos inequales quonam sit maioria d.gminor d.b.dico illud quod fit ex toto a. d. in. d. b. eum quadrato. d. valeest quadrato c.b per premisi ina enim quadratum
in merit numerus in duo equa Ita diuisius Cmasius nu/ merus adtinctus:quod fit ex ouctu totius compositi in adiim cium cuni quadrais naedietatis equum est quaarato compost
147쪽
CCum numerus uidi diuiditur quod fit ex toto instem eo quod ex altero diui ilium ui sciest equum ei quod ex toto i eua discum eo quod ex altero in se.
CI dem sponit se ma secundi de lineis. Sit enim numem diuisivs ib.Id dico quadratum .a cum quadrato.d. ess quantum quod fit ex a. in d. bi sciam quadrato.b. constat auidem exstata bammo quadratu
b. est quantum quadratum.a .cum quadrato.d. quare patet propositum.
Cum tuerit numerus in duo diutius elio inualis uni diuide tium additus:qiuadratim totius co fili equum eli quadruplo eius quod fit ex priori in additum cum quadrato alterius
EI dem oponit octava cundi delineis. Sit mimetus a. b.diuitiis i . .
viri luerit inimerus in duo equalia duc i, Mequalia diui sus: quadrata amboximiequalium pariter accepta dia plu3siunt quadrato medietatis et quadrato eius quo iequalis portio codit equaeem pariter acceptis. EI depponit nona strudi delin MSit enim. a.b. diui 'sa duos equales et lint. a. c. c. b. εν duos iuequales si sint. a.d.Ld. b.dicost quadrata duo ν numeroya dct.b.d. pariter ac cepta mi duples duobus qdratis duoν numeroy a. cfi .c.d. pariter acta piis. Est enim p ncta bage quadratu. a. d. quantu Uram rutae quadratu
CCum facim numerus ita duo equa diuitiis aliusq3 ei adluctus quadratum totius co sities quadi ato adiuncti duplam laut ad quadi alim medietatis ipsius est quadrato copositi ex medicitate et adi: ncto. CΙde ponit rosecundi delineis. Sit enimnu menas ab .diij in duos equalesa. c. c. b.sit sibi aduinctu numen ub d dico quadratum a.d cum Mahato. b.d. duplum re ad quadratum a. c. cum quadrato .c.d cum sit enim numerus. c.d. in duo diuitiis sibi , sit a. c. equalis uni diuidentium additus erit per ro hamna quadratum. a.d. quantum quod fit ex. c. d. in.c. a.quater cum quadrato. b.d. quia ueroia. c. sequalis .cb.entqdratu a squami qdis .ic m. c. b. qtercu qua
148쪽
drato. b. d.ital quadratum. a. d. rum qiradrato .d.b erit quamnam quod fit eo. d.c. in.c. b.quatercurn duplo quadrati. b. d. hoc autem per ψ.bam duplum es ad quadratum. c.d. cum quadrato c. b. curia igitur sit quadra tum c. b. equale quadrato. a. Coc stat propositum.
CNumerim alique ira diuidere vi quod ex toto ora eius portione continetur equum fit quadrato alterius est impossibile
Quod ii .Jecindi proponit laciendum in lineis demonstrat hoc im possibile esse innumeris. Sit enim quilibet numerus.a. b. dico impossibile eeipsum sic diuidi ut proponitur: sic enim diuideretur m Nortione habmtem mediumst duo extrema i ut patet ex diffinitione g. M. Laeti.
Si autem potest diuidatur in .c sit a.b. ad. b. c. sicut. b. c. d. c. a. erit ita ba,c minor. c. b detrabatur igitur ab eo equali libi qui sit c. d. quia igitur est proportio totius .a b.ad totum. b. c. sicut. b. . detracti a b. a. b. ad . . d. detractum ab.b .c.erit eadem a. c.residui.a.b.ad. b. d. residuum b. c.quae re. b.c. ad c. d. sicut c d ad. d.b. erit igitur. c. d. maior. d. b. detracto ita . d. e. de. c. d. Visit. d. e. equalis. d. b. erit etiam portio.b Gad. c. d. sicut c. d. d. d. e. quare sic. d. b. residui. c. b.ad. c. e. residuum c. d. potest igitur c. e. detrahi ab. e. d. non erit it , finis istius detractionis quod est impossibile. Nunc ad propositum riuertamur.
Idispositio . IT. 3suerint duo numeri contra se primi annis est primus coriant adlectindu nutantum e e seamduyad tertimi qrieminini possibile est.
C Sint. a. l. b contra Ie primi: dico impossibilae ea lique eis in continua proportionalitat ea diugi. Si enim potest i sit. c.quia igitur,a.ad. b. sciat. b. ad. c. lv tautem. a. Lb. tias proportione minimi per G. septimit sequit periri. eiusdem: utia numeret. b. qui cum et numeret leno eruta. ff.b.cotra se primi : quod e cotrarium positioni. ropositio . IS.
3 Mollibet numerorum continue proportionesissum extremistierint contra se primi quantus est nius adsecundum tantiam re intimum ad aliquem alium est possibile
CSm . b.c. continueppomonales.snt' a. c. contraule primit dico pira eadem portione no potet ς adiungi alius: si enim potest sit. d.quia igitur e Lamia. b sicut. c.ad. d. erit pmuta
continue portionali uisi luemus numerat scem: ipse numerat oepissim pliciter g lethcedesque libet sequete: alga et numerat se: no eruti R. g. c. costa sepmi: qe est in couenies. Dropositio . 19.
Nopositis duobus numeris an fit cis tertius co it tinue proportionalis perstrinari.
usi Sint .a. .b. duo numeri p m: uolo inquiuere an eis possit tertius Lib continua Hortionalitate adis . Igitii si ipsi sint cotta se primi ipossibile eper.tet. 7 Si uero comes positi ducat. b.in se. g pueniat. c. que s. a. numerat erit.
Elis tribus numeris corinuta portoalibus an sit alliquis urnis eis Grinue a portionalis inquirerc.
CSint continue Nortionales a. b. c. volo inquirere ari
alis eis sub conti nua poni salitate postit adius. T I situr .a.ff.c sunt contra se primi .impossibile est petii2.
149쪽
compositii sit. d. qui prouIute t. b.in. c. quem inumeram. Ut uero non umerit non erit. 7 Numerit enim eum fm. e. quierit quem querimus persecundam partem .io. eptimi F Sit ergo ut non numeret eum: est tmin a ad. b. sicut Gad. e. itaqi quia ex. b. m. c. fit. d. cquitur per prima parte O. mi: ut ex.a in .e .filiaem Z Ergo a. numerat. d.fm.e. led positum
erat φ non. T I dem potes persinitari quotlibet continue proportionalibus propositis.si enim duo extremi sint contra te primisnem habet intentio per. . autem compositi ducto secudo in ultimum si productum nu meret primus:ῖς reundum que eunumerat est quem querimus pilauda partem ro sep . TSi autem imus productum nota metinerat nullus erit quolibet enim posito per primam partem eiusdemmi piu in postuminumerabit primus produc iam: quod postumerat non numerare.
Propositio . 2 AD quotlibet minacris priniis aliqtiem prinium labessallaertani re necessc est. Nihil aliud intenditur niti numeri pr mi sint infiniti demon rare. Sint enim. a. b. c.numeri primi dii es ea liquem primum diueritim ab ei ς sit quide.d. fminimus que numerant cui addita unitate fiat d. g. qui est primum aut compotitus. si primus con 'at tuna. TSi compolitus numerat eualiquis primus qui sit. b.que non ιν possibile re alique ex primis positis. si enim ea aliquis eo cu quilibet ip=oy mirneret d. f. ip e quoqinumeraret cunde: at quia numerat. d.g. oporteret ipsum numerare. fg. qui P unita si q4 est impossibile. Ide sequitur poeito. d. f.quolibet nuero quem merae.a. b. c quare constat possitum.
3 coaceruetrae ossibet numeri pares:totius quom ab eis coaceruatus eris par.
Sit quisq, numerorum a. b.c par: dico ex eis compo situ meep rem. 7 Habit enim ex conu Ione dimitio nis qui eorum medietatem TSint ergo eo3, medieta te s. d. e. f.quia igitur sicut .a.ad. d. sic. b. ad. e. .c ad . ferit .s.leptimi sicut a. ad.d ita totus a b c .ad totum. d. e. f. ita d. e. segmedietas a. b. c.ergo perdiffinitionem.a. b. c. e par: quod e propositum.
3 nunreri impares numero pares coaceruentur rotiis qilis ex eis coacer tus erit par.
CSit quilibet numero . a. b c. Lirnpar: dico ex eis co positum e e parem. 7 Uempta enim a quolibet unitate cogat residuose e pares: si quia ille unitates dempte compol nunt paret cir sint numero pares constat propos tu perpre
Propositio . t Inumri imparos numero impares maceriae iactronam quo in cis coaceruatum impatam G.
Sit quilibet numero1. a. b. c. spar: dico totu mei co possumee imparem p Erit n. ymissem compositus exi a M. b. parti quia c. depta unitate e par: erit p ante smis sim totuς. a. b. c. demptat ilitate par:per diffnitione itaqi constat tommee impare. Npositio . M.
-3a ni a mero pari mimenis par detra fresiuim
ei irpat.' Sit tonas a. ora quo detrahatur. b. qui quoq sit par fresiduus fit. c. dico. c. re pare. Sit mina d. medicta .a. quo et sit medietaς b d i aEtcq . e. de d. sit reliquus. f. erit per n.septimi c ad .f. sicari. . ad . d. quare. f. e medietas
150쪽
3 anaeroi pari detraliae spar iniquus crit P .
ropositio 3 aia umero impari numcrum parem subtrabas qu relinquitur
R I de tauriret o pat i imparem tollas qui resin ic
talmi par est. I CSit a.b. ira o tollanir a. . qui sitim ridico. ΔΚu residuum e e imparem. 7 Subtrahatur enim ab.a. c. uni ultas quest.c. d. erit .a.d. paritagperi r . d. b. quo erit S par: quia igitur.d. c.eltunitas sicquitur. c. b ee imparemi positum.
Proposiιtio .29. Inumerus impar mirumcru parem ducatur stri de producetul' erit par. Erat G.manilestum est quod dicitur. Propositio .3O. 3 in impared acimpar uaduces erit impar. CHec quo in.: mani sta est. Daepositio .3 3 numerus impar num parta numerasium ero pari eum numerabit.
Si enim numero impari eum numerint ex impari inim
i aepositio .32. 3 impar imirare numeret impariter eum numerat.
Si enim pariter eum numeraret ex numero spari innume trum parem fieret impar quod est inconueriniens per.19.
ide quem dimidium ipsum metiri necesse est.
eli propolitum. stra filio .ga.
- hvmam impar ad alique fuerit minius: ide ad
CSit.a.numerus impar primus ad b.cuitu duplum sitici dico st a. est primus ad .c. p Si autem numeret eo .d cuq .a lit impar sequitur.d.ee imparem: quicia i enim im --l rem niumerat impar est. ζ Perpremus it Mi. d. nume