장음표시 사용
161쪽
linea. c. b.in quadrato linee. a.c. que p lecsidam pi .et. coicat iecu i longitudine constat habitu e e ppositum. E Si aut libeat plures duabus poteria ronales Gicanteς qua ν una potentior sit qualibit ali in q-drato alicuius linere Iecu coicantis in lon nidine rapite. si ut 6us linea
dratum ein.riori qua aratu si quadratu line .a.F. ad quadratu linee a. R. siciit d. ad ne duca ruri mea. k.b.erui ut prius due linee a. b. g. b. R. Iesmarimus. 7 Eodem5 prunus diuidatur.d.i l.quadratuli. m. non qdratus ponatur Nortio quadrati inee.a.b ad quadram linee a. a. sicut
siruntis diuidatur. d. in .p.quadratu fit n.q.non quadratus fir erit nor tio quadrati linee.a.b ad quadratulinee.a. r. sicut.d.ad .p. st tracta luerit linea r. b. erutet duelmee.a.b. g. b. r. quales inquirimu . Sunt ita brinee .a. b.b. c. b.R. b.n. b.r. potentiam rationales linea coicante ς una videlicet a. b. e potentior libet aliasin quadrato linee lecti color tiς in longitudine. Si initur quatuor blineala . b. c. b.R. b.n.b r. nulla coi'cat alii in longitudine constat φ situ. Istud aut scpbatur. Patet n. vc Vpremissis Q quadram linee. b. e.ad quadram linee.a.ό. e sicut nu s.fin umeῖ .d.fi qmdratu Enee,a. d quadram linee.b. est ut numerus d.ad. numeP. h.ergo D equam Nortionalitatem quadratum lime .b. . ad quadratum linee b.R. di sicut numerus. f. ad nurnerum . h. kdntillus I tuor riumeromm .sb. m. q.le habet ypothes ad alium sicut numerus quadratuς ad numerum quadratum.quare per. 3. partem .ndue Iinee
quelibet dueecillis quatuor simi incommensitiabiles in longitudine ri iquet ergo quod volumus.
b In ista inis ubi dicitur. Si igitur quatuor lineam. b.c.b.R.b .n.l
municant in longitudine earum quadrata se haberent scut duo numeri quadrati per primam partem. 7.huiuς. enmcq tractatum unius earum ad quadratum linee.a.b etiam eo sicut numeri quadrati adnumerum quadr itum. Utunc persecundam partem .et..huius estent eorum latera reisscet line&a b. g. b. R. u. b. e. in longitudine commensi rabilia quod eg*l ut a. tW us conclusim ibit oppositum. TEt sic de quacunq, aliae Tat ideo Luc. ides probat eat este ad inuicem incommensurabilin
162쪽
co De necessitate oportuit ponere duas lineas tequalis ad hoc ut emi in longi ardine incoici tes stylum inpotentia eoi carites ronale . quia possint essed linee solum in potentia ronales. Et non tari in potentia coicantes. Metin longitudine coicant viliant latera Gadi se ficierum
quadratarii ouam una sit idi. pedu e alia trium pedu que cu sint sicut duo
lia in longitudine. que latera dicuntur vii Igariter est medietas de R u. fp consequens quarta ps quadrati de R.D. UL3. I dem dicitur de illis decim Raues queritis e CCum quadratum linee. a. b. ωnal esse debeat tabere ad quadratum
linee inuenieride sicut numerus. d. e.ad numeν d. f.hoc est sicut numerus quadratus adnum di quadratum linea .a. b.st linea immienda erunt coicantes in longitudine ex lecunda pie et .huuas. Et erit nonio e f. si tlatciis numeri quadrati .d. difflateris numeri quadrati. d.f. cum numeroe quadratoν.d. e. q. d. f. it duplicata suo; correlativo3 late di p. v. octaui ac et dicta ν linea, quadrata p.G.soeti fiunt suον correlativo3 , latey in duplicata portioneque est similiς illia oo dictis numeroν Et cum dicti numeri poriantur quadrati latera erunt. . inter qmnatur unitas. Vt supra i . . huius apparet. Modo loen fierit illa linea. involienda erit coicans linere. a. b. posite. .ut dictum e. Et Ny cois men iitra erit in . a. b.toties quotiet unitas inδ. ei illa inuenienda eri ut unitas in .i. Et sic illa mesurabit.a.b. ccunda nuna o. si illam inueniendas cunda numeν.1. ergo diuisa a. b.in tot ptes e*eς quod sunt unitates io .due ex illis erit linea inuenienda ad cuius quadratum lebebit quadra tum lineeah. sicut numerus.d.e.adnume di .d.Lronibus aductis quam
postea id icto emicirculo vis mittitur coaptabis cetera sint plana intue
Propositio . Is . Iliaeas in pomitia tantum rationalas com municantes quarum longior plus possit tmaron quantant est quadratum litis sidi incommmci, rabilis in longitudine inuenire.
CI n hac quo remaneat eade dispositio eae ypothesesque in premissa hoc otia mutato P yportio numeri. d.e. ad neutradu , numerorum .d. f. g.f. e. t sicut numeri quadrati adnumerum quadratum: hoc aute ruisse fieti posito.d.e. quolibet numerowdrato diuiso in duos numeros non quadratos visi .d e sit.'. d. f.6. e. f.e.3.argumentando ut prius hoc duntaxat excepto Φ.a.b ff.a. c.sint in comensiffabiles in longi mdine per ultimam panem .ve Et sciendumst due linee quales herest premissa docentinuenire componunt binomiae minori earum abscisὸ de maiorique reliqua est dicitur residuu. Nota etiam gli nee tantum potentia rationales communicantes possunt et una rationalitigalia irrationalis sicut latera tetragonica duarum ruperficierum quarum una pedum fi alia . . sunt rationalia potentia tantum communicantia latus enim prime superficiei est. .latus vero se cunde non numeratur et possunt eςle ambe irrationales ut latera tetragoni aduatum superficierum quarum una sit.x pedum st alia 13.neutrius enirn numeratur latus.1in i longitudine inc5mensurabilia ex ultima partestnime. Quod si libeat et inuenire plures meas duabus poteri natantum ronales communicantes quarum una sit potentior qualibet aliarum in quadrato linees m non communicaritis .in longitudine:
sarriratur talis numeriae qui possit pluries sic diuidi ipsius ad nullam Lacini partium nec alutauu ad aliquam aliaeumst propontio ut numeri
163쪽
d. e. scilicet.ς.adnumerum.d. f. scilicet. 6.l quia numerus. d.e ponitur quadratus eius lavis erit notu. s. eius radiisque in casii est 3. rationalis in longitudine. filanu numeri. d.ff.6.eirronale fidicit radix finda. Ita inter 3.st R...ponatur unitas. Tunc per quintam vel .ci. diuidatur linea a. b. in tot partes quoties unitas in .3.l una illarum erit eius mensuraque in linea inueni eda erit totiens quoties unitas in R.6. Et sic linea inuenieta erit. R . 6. linea. a. b.eriti casu.3. eius quadratum .9. Et quadratum Eneemuente .a. c. erit.6. I deo per tertiam partem .7. incommensi irabiles in longitudine. 7 Sed ponendo lineam.a b.u. numeruς. d. e. deberettast.r4 ff. d.f06. f. e. .tunc arguendo permen impropo concludi
tur ut in precedenti. Propositio. . N.
I perficies quam connet dire linee potentialiter tantum ronales coimitescit irronalis diciturae Operficies med ali sciura latus tetrassolii Mura cum scilicet quod in eam pote tu irrationale dici tui linea media sis.
coicit cum Lia equest que e. b.c esurp βecunda plena io ut ei. a. c. non c&cetcu. c.d.qrepdi nitionem plicita. a. c. H. irrationaliti ideo gita latus stetagonicu est et irraonale. Dicit aut hec sup fictes mediatis imi λ est medio loco ortionalis inter duasisficiesronales videlicet inter qdrata dira 3, linea; ipsim continentiu C linea potes in ipsam diciis mediatiς. qmtp- quoit e medio loco φportionalis in triduas lineas potetiam rationales communicantes betae lineerunt latera dictet ficiei. Et hoc est et, volumuς. aepositio . m.
Um adiuncta iii erit Iinee in songitudine rationali superficies equalis quadrato linee mediciis latus eius Mundum potetialiter tantum erit rationala lateriae primo insonstuditae incommenlarille.
e quast conuerlahmi fle. Sit a. linea mediatiς. sit 2EMES linea. b.c.r5nalis in longitudine cui adiungarurrupfictes KL iis quadrato linecia. hocmo fiet: iubiungat duabus lineis b. c. g
ficies ex. b.c.s.c. d. mlis quadrato lineria Q. G. ciuςdri dico latus eius pniq4eg.d. c. eς Ierianale in potetia fi incomen abile in longitudine lateri. b. e.TErit expmis Lipdi 'nitione mee mediatis vilinea.a. possit in aliqua supficie contentaa duabus lineis potentia tria tonalibus comu nicantibuςqsit Lipficieς. e. g. cuiuslia a. e. f. fg. auri I due si reficieς
les gre singule φportio ergo. b. c. ad. e. f. est sicut.fg. ad.c. d. quare p.M. cum . b.c. 5icet iri poteritia cu. e Leo quadrata virius' est sunt rationalia exypothesi .f I. coicabit inpotentiacu.c.d. Cum igit qdratum. fg. iitronalep ypothelm mm quo , quadratu.c. d. ronalep diffinitionemat ga supficies. b. d. est irrationalis sicut sita equalis.e. Dp premissam tur ut quadratuli neci c. d. no coicet culti piate. b. d Et aqdratu linere. e.
164쪽
Propositio .a I. Iurea comi micalis mediati est mediasis
C sit linea.a. mediatis cui ponatur linea. b. esse eoicans siue in longitudine sive inpotentiam: dico et, etia linea b. est mediatis. Sit enim linea. c. d. ronalis in logitudine cui adiungatur superficies.c. f. italu quadrato liner. a. gitem ii perficies e. g. e inliti quadrato linere. b. hoc aut qualiter fiat in premissa demonstratisse dictum est. Diri, per premisso linea. d. fronalis in potentia linco mensurabilis in re. c. d.ε quia p
quadratum. b. comunicatoe quadrato.a..perypothesim: quibus quadra tis dicte superficies polite sunt equales sequitur per primam partem .lo. Vt linea. g. comunicet cum linea.d.f.quare.fg. Hironalis in potentia tantum sicut est. d. f. in comensurabilis in longi mdine linetae. f. oena linea
probatum est m. 3.qd si fierint due quantitates coicantes cuicunq, Una earum non coicat nec Hiqua: itam, petar erit superficies. e. g mediatis gelus tantς tetragonicum quod est.b mediate quod est propositum. ε Si militer quoqi omnis fl*erficies coicans stiperficiet mediali mediatis esse conuincitur. Sit enim superficies.a. mediatu cui ponatur superficies. b. ee coicans dico luperficiem.b.esse medialem quod sic constabit. Sit linea. c. d. ronalis in longitudine: adiungaturi ei superficies .c. e. que sit equalis sit perscies .a quod hoc modo fiet. Inueniatur linea. c. f. ad quam sic 'ha beat virum ex lateribus superficiei.a. sicut linea. c. d. st habet ad reliquum hec autem linea qualiter reperiaturi n. Io.sexti dictum e. Erit ex. is eiuVdem si1perficies cl.fequalisa. Itemqi eodem modo ad lineam. e. fadiugat si ficies. e. seqsit -ῖς. b. erit ita prio. linea c. f. poteriansirianalis: erit quo linee. c. d. inlisitudine inco mensurabilis. Et gain. .b.erant municantes ex ypothesi: erimi qum,. coeci e g. eis equales coicantes: itaci per primam st per primam partem. ro.huiuς eruntdue linee. e.ffffucoicantes in longitudine. e Est igitur linea. Lyronalis in poterea ratum fi linee. e. anc5mensurabitis in longitudine: quare per. 10. kpficies
equalis.7 cum iit ergo. b. uatis.civerit quoq. b. mediatis: quod est ppositum. CEt nota omne; superficies mediates comunicantes compo mi superficiem medialem. Vnde tota.d. r.es mediatis: quia cum duel in .e.ff.fg. sint rationales inpotentia Og non comunicantes in loris ritudine sequitur ut tota e .nsit rationalis impotentia tantum si non comunicans. e.d in longitudine: ita I per. S. d.g. e mediatis. Eodem modos sint plures.
g Sta per nonam compositum ex. Cfgf. g. quod es . c. g. comunt cat utri .c. fgfg. tunc per octauamcum.fg.non coicet in longitudi ne cum risnec etiam . GDcoicabit ipsi.e. f. cum . c. g.per. 9. Comimicet ip s.fg.st ideo per octauam cuicunt non coicat unum nec reliquum communicabit D.ssideo duel trire. c. g. e c. d. cum sint rationales potetia inico municantes continoit superficiem. d. g.totam mediatem p .i'. c. h CSi vis scire an due linee scia quantitates irrationales sint communi cantes siue commensurabiles primo videas utrum sint equales: si clem percomunicant cum non fit m ior municantiaequalitate.si non mequale si tunc vide que pars aut partes sit minor maioris redigendo eas
ad Vltimam earum depressionem per viam tracti schisando i ut vulgo dicitur: est earum ultima depressio habeat radicem discretam erunt comunicantem sinon: non mini: visi sint.R. 9 o. v. .emm Vltima depressio erit R iux radix est i hoc est. R. o. e due tertie, p. .so ergo ehnt sicut duo ad tria ς. sicut numenas adnumerum .ideoperi tam bitur ssunt communicantes
165쪽
'mpositio .22.l--nio diffficiana qua habu dat media ea media Itali rationalis esse pae batur.
I C Sit vita duarum superficierum a b.f. a. mediatis: di; co superficteς b. que est emtia differ is est irrationa lis. 7 Sit enim linea. c. d.ratiora sua logitudine cui ad Ια TMia alii, non me sope frie d ρ ρ 1 litius ini iri n. t sirpessi ed. f. ualiς totali superficiei.a.b. Hoc autem equalites fiati premusa do mimus. Quia ergo. d. festequalisa. bcid. e. valis a erit percoceptio nem. g. f. qualis. b. Si ita staperficies.b. non irrationali; sed rationa lis terit DLysi equalis rationalis. At cum in ea. e.g. sit rationalis into Iirudine sicut sua vallς. e. d. erit m.16.linea.difrationalis in longitudine fi communicans sinecie g. Per. io.autem est vir Uiduarum linearum c e.ss.c. f potentialiter tantum rationaliςllinee.c.d inco mensurabilis in longitudine: itag. e. f. linea est in commensi irabilis lineri c. e.in longitudine. 'Et quia per primam stati quadratum linee. e. fad luperficiem: quefit ex. cisiii .c. e. est sicut e. f. ad .ctari sequitur persecunda partem .io. ut quadratum luare. c. f. sit incommensurabilesti preficiei sine eme.Lin. c. e.quare limina quadratum erit incomment irabile duplis x jpficiei ex .e.f. in hc. Quadratum vero. c. e. cum sit rationale est conan imicanς quadrato
drato. difffideo incommesurabile duplo superficiei exe.f. in . c. e. Et gaper quartam secundi quadram linem c. Leit equale duotiis quadratis duanam linearuntice. .e f. duplo stiperficiei ex .c.e.in .e.f. Et duplum stidifici ci c. e in .e. f. est incomembrabit aggregato ex duobus qindratis duarum lineant m. c. e. e. f. equitur per ea que addita stant in. 9. ut quadra turn. .f. sit uico menstrabile aggregato Ut duobus quadratis duarum flii an earum c.αε e. fAt cum aggregatum ex his quadratis sit rationale: leaturq iactatum linee c. f. non esse rationale: ideo linea. c.f.non est rationalis in potentia: idcirco non erit 'perficies. d. f. mediatisne .a. b. biequalis quod est inconueniens eum sit conariurn positis: relinquiturtur epiperficies. Nesi irrationalis: quod est propositum.
CL ao e mediale est irrationalesta non econmery.ut supra. . urna Scilicet si quatitates sint incommunicantes totum qu i ori conjctum compositum vnni earum erit incommunicans.st quia qua dratum linee.c.f. est constaum. duobus quadratis. e.f. st .c.e. e duplo superficiei ex. c. e in e. f. equitur per nonam tota a b.R.10r.b cum rub duplum sit mre proprie dicta dupli. Dropositio . 23.
- Bilisthi persto quani continent due linee me
diae potinataliter tantum communicata test aut rationalis est aut nae dialis
CSint due linee.a b. g. b. c. medialeς poteritia tantum communicantes: dico seperscies a. c ab eis colenta aut inest rationalis aut mediatis. Sint enim. d c. quadratum linerib c. f. a. e. quadratum Enecia. dierunt exypothesibee duo quadrata communicantia: erit per primam leni ripiscies.a. c. mediatiς me dio loco proportionalis inter ip9 quadrata. Sumatur igitur linea. f. g. Ist titionalis in longitudine: cui adiungatur si perscies. f. h. equalit qua drat h. a. e. . h.9.equalis j ficiei. a. c. . R. l.equali quadrato. d.c.eriit uehere tres sit pascies.s h. b.ν. LR. l. continue proportionales sicut jnt sire quales. a. ria. c. d c quare per pr manas ti erunt etiam tres lineri g. h. h. na. e. .l.qurfurit baici earum continue proportionales. Et cum ruperficies .f. h. . R. l. inices municantet scut duo quadrata .a. e. s.c d. eis equalia iic quinir perprimam lex tilio huius ut tuam.ῖ. h. it communicas ca
166쪽
in .l utra autem eamni est rationalis in potentia perao huius. Ἱqitur,perficies viaim earum in alteram est rationalis: omnis enim stipes cieς quam continent due inerrationales inpotentiar commicantes inton Time necessario est rationatu ut patet in prima Iretii prima pie .ro. fg ex distinitione sit scierum rationalium. TEQuia ex prima pie
re. Et re quadratum Enee h. m. e equale superficiei .g. b. m. m.L erit quadratum linee..h. m.rationale. Si ergo linea. b. m. di rationalis in ton pitudine Decoicans line αμ. m.que est equalis lineta fg.erit per K. seper kMς .h. rationalit. ideo lsuae qualis .a .c. Si autem linea. h. m.sit irrationalis in longitudine iue inco mensurabilis line&R. m.sue est equalis linee. fg cum ipf, strationalis saltem potesta: eog, situ fra tueronale erit ex .ies Lipficies. b. .medialis : quare C ria Sualis a. c.collat ergo Vpositum. Et nota st sidue linee.a.b. b. c. essent mediates in longi ruo dine comunicantes: es Lipficieς φ .a. c. mediatis irra. Esset enim supficies
me comunicans utri duorum quadratonam. a. e. s.c.d. per prima sinu
lina c. esset communicans viri superficiei. f. b.ff. l. Igitur per primam 1σα 2ro hum linea h. m. ciet comunicans v fi duano linearum. g h.
e l. naci quia hee ambe fiunt rationales inpotmtia tantum: non coicari ter in longitudines mee .f. g. estis quo . b. m. rationalis in potentia mnon communicans in longitudine linee. f.g e ideo nec communicans linee h. p. quare per r9. erit superficies. b. I mediatis tantum. gideo etiaa. sibi equalis. TSi autem duelinedia. b. g. b.c. es sint mediates negini guttaine neq, in potentia comunicantes: superficies. a. non eris ra tionaliς ne mediatis. Simini sic eet scilicet 'due linere a. b. b.c.eerit medialeς ne in longitudine. ne in poemtia commnnicantes tesimi duo quadrata.a.e e. c.d.incommunicantia. ita e due Iliperficiet.f. h. ffv l. esse qualet quoqi: Glint incommunieantes: qua rest due Iine ee. h. m.f.essint incommesurabiles per imam lGetist pre,cudam partem io. Et quia virat earum est rationalis tantum inpotentia pecto. ει sit Hiel. Wni ut earum in altera mediatis per. q. Cum ergo quadratum lineeh.m sit ualedicte supreficiesque silex.Ph. in.ma .per primam partemr6.sisti tam per.iq. linea. h. in linea mediatis.Perii ergo non tam supreficies. b. rationalis nec etiam p.ro.med talis quare nec sua equalis. a. c.
RCQualiter fiat in tribus precedentibus dictum est. Videlicet per. 2Ο. Dii politis tribuς lineis quartam inuenire ad quam tertiale habeat sciit
prima ad lecudami hoc autem totum fit ut deueniatur ad jecundam par rem. .stati garguatur perscies illat equales cum sint mutuorum late tu st unus angulus immo omnes uniuς equetur angulo alterius v. quan trium linea due sunt latera perficiei qctate. a.f. secutal tertia altera est linea. sequarta inuenta est. g.h .tunc reliqua patent per deci mamquintam sistri. Tunc ni quatuor linee proportionales. prima. f. secunda virum lams sirperficiei quadratcia. tritia reliquum latuς dicte
erficiei quadrate. a. quarta erit lineamuerita periro. D:issis. g. h. ita
reliquit. o CScilicet onullo nodo posset este rationalis led tantum mediatis. Dispositio . . -
Uas lineas medicies potentia tantium comuni cantes superficie nam rationalem coniiciites quarum lonCorsit mitior breuiorei augmerito quadratiline emanni uilicatis eidem long i in longi tudine inuenire.
- I E cum omnes dire linere mediates potentia tantum munitantes colineam'pMemroalam aut mediate ut ex premissa patet
167쪽
Oeet Humire eas duasque continent lupa em rationale g eat que
medialem. Unde propolitum est inuenire duas lineas media lex potentia tantum comunt test quarum longior possit amplius breuiore in qua drato alicuiuslinee sibi communicantes intonstudineque contineant stiperficiem rationalem. Ad hoc ni doctrinam .in Sumo duas lineas a.f. b.potentia tantum rationales communicantet quarum longior quesit a possit amplius,maiorique stab in quadrato alicuiuslineel cum Gmunicantes in longitudine. Et ponam lineam. c. multa des Ham. .
Deti medio loco proportionalem intera .e b eponaen visit proportici
a.ad. b sicut. c.ad .d. . qualiter fiat in his . Getidictum est Dico taeduat ut ineatice.d.eςl quas queremus. patet enim ex . . superficies quam eo tinent due linedia Lb.est mediatiς:ss quia per primam partem O listi qdratum linee..tae' dicte superscini equale erit igitur pre. q. linea. . medi alis. Cum autem sit. a.ad. b. Lait.c. ad.d . b.communicat cum. a. in potentia tantum ex 'potheli: quintam.a.q. b.rationalis edi in potentia se
quim per. ro. .c qu , communicet cum . d. in potentia tantum ita per.ri cum .c.sit linea medialis erit etiam .d.mediatis: fi per primam partem Ix erit linea.c potentior linea. d. n quadrato linee sibi communica tis in longitudine. Si ergo due linee.c f. d. contineant stuperficiem rationalem t e sintquales inquiremus. Eas autem continere stuperficiem irationalem sic habeto: cum sit a ad b sciat.c.ad.d. erit permutatim a. ad .cri cut. b.ad .d lederat.a .ad. c. sicut. ad b. igitur e .c.ad. b. I lt. b. ad .d.ita p primam partem.io sexti superficies quam cotinent duellii π.c. g.d. est equalis quadrato b.est autem quadratum. b.rationale per ypothe.cum
ipsa sit ratio lis in potentia stiperficies ergo quam continent due line ecpd.est rationesis; quare constat p'Dositum.
Et alligator. 'ENota igaeon eqetia valet sic arguendo ille linere sunt racloales in logitudine ergo comunicant in longitudine e inpotentia sed non econuer'. iste furit rationales inpotentias, comunicantes inpotentia ergo in longitudine quia .R.itie. R. . iunt rationales in potis 1 non in long
dine quis in utra i communicent 2R.ir. R. o.comunicant in initiae non in longitudine cum quadratorum tuorum non sit proportio sicut numerorum quadratorum. CI n lineis medialibus non agitur de uetationalitate cum lemy sint irrationales quia sunt latera tetragonica supreficierum irrationalium ut in.w diciturinsolam de eiu dicitur cominii tria cornes abilitas ut patet.ne Scilicet tribus lineis propositis quarta inuenire δquam.3 se habeat sicut prima adleamdam sincase primae linea. a. scdalmea.b.tertia linea .c.e quarta inuenta est in ea. d. vi ibi es.
Dispositio .2sUGIineas mediates potentia talitiam comun tes, superficienam rationalem conti irelates: am longior sit potetior citiori quadrato linee eidem toti glori maenignadine inimensura istuc nire.
Positis duabus linei ς. a.e. b.malibus potetia tna coica tibus qua longior positamplius breuioriqdrato linee secum non cor cantu in longitudine: que quidem reperiuntur m doctri ni. i S. ceteris positionibus manetibut icut inpinula argumentadomo cosimili patebit duas lineas.c. e. d ee qualci querimus. Et notast duellaeqsbecs premis a docentinuenireco nunt bimediate Imum .e minori earum abscisi de maiori que reliqua est dpresiduum mediate gnium.
Uas ineas media co potentia tantum connini cantes Operficienam medialem continentes qua Ium longior baerii oreta iam amni impollit quantu est quadratum alicii lius Ilia cc liaconicia surabilis ipsi longiori lii Ioia studii lc inirenire.
168쪽
CCum docuent inuenire duas lineas mediates potentia tantum comunicantes superficiem rationalem continentes quarum logior sit breuiori in quadrato linee secum communicantis in longitudinest se eum incommensi:rabilis in longitudine. Nunc docet inuenire duas line as mediates potentiata communicantes superscieri , mediatem conti nentes quarum longior potentior breuiori in quadrato linee non fecucoicantis in longituatne: si solum sibi in commenserabili; in longitudi ne. I llud enim satae habet ex isto. 7 Sint itaque linee sumptem do ctrinam. IS. a, b .c. potista tantum rationale si in ea solum comunicares. Sit .a. poteritior. bM. c. quadrato linee sibi incomen iurabilis in lon tudine C ponatur. d. medio loco proportioasi inter a.f. b. ut docet. lis ti: filii. d.aLe scutia .ad.c. dico duas lineas .d.l .e. este quales instrina . Cum sit enim quadratum linee .d. equale superficiesque cotinetur suba.ε. b.per primam partem.w.D:n Sitq, superficies contenta me
dialis: O. N.cum. a. g. b sint potentia tantum rationales communicate terit ex eadem linea.d.mediatis. Quia a. .c.sicut. Sad. e. communicat autem a.cum. c.in tentia tantum Gypothesi. SNuitur ex io. vi. e.quost comuniceim . a in poteritiam. I in peniti erit. e. linea mediatis. Et
etiam quia . a. eg potentior. c. quadrato Imee sibi incomenturabilis in longitudine erit quo per. u.d potentior. e. quadrato linee sibi in commeri brabili; in longitudine. 7 Si igimrduelinee. d.pe. contineam si s refici em medialem constat eas esse quales inquirimus. 7 Eas autem continere superficiem medialem. sic babetur. Cum fit exypothdi.a.ad .c. sicutid .acie erit permutatim .a. ad . d. sicut. c.M.e.scd.R. ad. d.disicut. d. ad. b.p ypo thesim ita .d.ad. b.scutic ad .e igitur per primam partem.IS. Q fit siserficies quam continent. d.ff. cis equalis ei quam contrarent. c.ε. b. ed. b. e.e continent siperfici medialem per M. cum ipse sint rationales im/tentia tantum communicarites ex ypothesilita .d.st.e continent Q fictem medialem.quod est propositum CSi aute citra esset inuenire da as lineas mediates potentia tantum communicantes stiperficiet media leni continentesp: quarumlono ore flet potentior breuiori quadrato li/p nee tecum commimicantis ui longirudine. Sumeremus tres lineas fmdqctrinam .ma. b. c. tentia tantum rationales linea solum communica teste poneremus lineam .a .es epotentiorem linea. c. quadrato alicuius linee sibi communicantis in longitudine: cetera vero manerent ut prius gargumentatione consimili concludoemus duas linea; d.q. e. esse qua
les proponitur inquirere. 7 Et notast due Iinee quas hec. .docet inueniret componunt binae diale secundumst minori earum abscisa de maio/rique reliqua est diciturr duum mediale mundum.
o Potrii latine Le mediatis ad potentiam linee .g mediatis e ivt. n. U.r . numerorum qui communitant: quoniam quadrati. . quod or 60.ad quadratum numeri.r . quod est.xorio. est sicut numeroru qua dratorum I deo per secundam partem. rihuius latera . . . - . communicat in longitudine C poteticia .ad. b.e velut di assis p. 4 Propterhoc dixit lupra i .ia.ae. si libeat plures lineas inumire potentianti rati ter comunicantest ut pos utres quatuorv.lineas mediates inuenue ci
stropositio .2'. lineas potentialiter incoincturabiles fili perfici χ meaialam Oantinentes quarum quadrata ambo paritet accepta sint rationale imaenire.
Propolitum est invenire duas meas incommensurabiles tam in potentiaq in longitudine que contineant sup
ficiem medialam e quadrata ambarum pariter accepta
169쪽
elant iuperficiem rationalem. Ad hec autem sumo p. IS. duat lineas. a. b. e. e.d. potentia tantum rationales communicantes quarum longiorque sit.a. b. t potentior.c. d. quadrato alicuiuslinee secuti, commensitabilis in longiiudine. Et uper lineam .a. b. describo scini circulum a.didie diuido lineam. c.d.paequalia ad punctum. f gdmido lineam a. b.ad punctum. g. ita linea. c. f. cadat in medio loco proportionalis inter. a. g. .g. b. g qualiter hoc fiat in .s.dic tam est. Et nost luperficier. b. h. rite a. g. in.g. b. Erit in prima parte.in irati quadratum.c.f. tiales perficiei. b b. st quia quadratum. c.festequale quarte parti quadrati. c. d. ex quarta secundi. Et quia superficiei. b. b. deest ad complendum lineam a b. ruperficies quadrata. Cum.a g. it equalis .Ph. Et quia linea. a.b.pi tentioreminea.c.d. quadrato linee sibi in commensurabilis in longitudine ex ypothesii erit ex secunda parte.i linea.ωg.incommes rabilis line eg.b. Educo igitur a puncto g perpendicularem super lineam. a. b. usq, ad circunstrentiam fe lairmaque sit. De Et protrabo lineas. a. q. e. b. quas dico es e quales querimus. Eriten .e.g. equalis. f. eost vir cadit medio loco ρ oportionalis inta. a.vq.g. b.prima quidem p r primam partem corret S. Diti. ecunda vero per xpoebe sinit propter quod quadratum utriusqi earum per primam partem .ie .ltati est equale superficies . a. Pin. g. b.que est. b. h. ipj igitur sunt equales. At quia per quartam lexti pro
cans rat . e. b. quare due sine e. a.e.st e b. minco mensurabiles in potetia. Et M perpenultima premi quadratu. a. b. Lllequale qdratis dua . rum line .a .e.Εrob pariter acceptis: quadram aut a b .estronset cum a b fit r6nalis inpotentia pypotheri erui quo quadratad y lineam. a. e.Le. b.pariter acceptaronala. 7 Si vero be due linee continent sufficie mediale babimine propositu. Erat aut c.d ronalis in potentia st in ea tantum Gitans lineriab. Mess. c. fideo et ne sibi equalis erit potelia ronalis stim in eade c5icans cum.a.b ita per M.fuperlictes .a. b. inne.est med lit. Quia igit per quartam Beli sther prima prem .is eiusdepipe cies. a. e.in.e b. est tibi. s. perficiei.a. b in .utaequalis constat duas lineas. a. e.ε. e.b. esse quales volumus. CEt nota due linee quas do . cethec. .inuenire componunt lineam maioremst minori earum abscisaque reliqua eg dicitur linea minor.
at V . iii a potiterialiterum amenseradites super
4l ficiem Gnaleni contincntes V ambo quadra Ilia pariter accepta sint mediate inuenire. lle sit hic prorsus eadem dispositioque prius in premissa.
HI Sint antem duel iraecia b.ff. c. d.quales ponitos erut Elimili argum etatione Omis te duellaema. e.q.rib quales hec.1 S. proponit. Cum stenim .a. b.linea medialis erit eius quadratum mediale per. 10.e ideo quadrata duarunt linearu .a.eM. e. b. sint media te per penultimam primite quia .a b. c. d. continent 1πficierationale. sequitur etiam una. b. in.c.fg ideo in. g. e. sibi equalem contineat stiperficiem rationalem: ita e a. e. in . e. b. patet ergo quod queritur. Unde Melin re quas hec .13.docet intimire componunt lineam potente in ro
nate e meaiales minori earum abscisa de maiorique reliqua est descitur linea que iuncta cum rationali componit totum mediate.
170쪽
OB admu constat miles periB. Diti fideo latus.1. .m ire; piciens angulu. b. e de magni adlam. g. pami respicitam de angulu. b. ro ne parui trianguli g&b. disiciat latinis .a b. magni respicitiis angulu. e. tectu ip vi magni ad latus e. b. mi. s. e. b. respiciens angues. g. rectu eiusdem paria: fi quia omnes anguli rinilunt equales perpetitionem et
et iupositio . 29. astureas potetialiter incoinciasiurabisessis per sitim lin medialem conmaciatis quadrata ambo pari aer accepta sint media ae duplo sup cici ius in alteram incommesiui adite inuenire.. Huiuς quoev dispositio a duarum premiss)tum dispo- sitione non sit in quoquam diuersα. Sint autem Eneediae.R. b. f. d.quales 26.proponit erunt premissὰ argumentatione due Enee.a e. q. b.quas inquiri nauta Cum enim. a.b. t linea medialis erat quadmia duarum linearum .a. e. l. e. b. pariter accepta mediate. 7 At
cum a.b e c. d contineant iuperficiem mediatem .sequitur ut .a. b.in c.
ideo i .e usibi equalem contineat quo A ficiem mediate: Oinn su perfici ει mediati communicans mediatis esse conuincitur: queadmodum.1t. t non stratum est. Superficies igitur. a. e. in .e b. mediatis est cum iplasti equalis superficiei a. b. in.g. e. TQuia vero lineama. b. est incom/menlinabilis time. c. d. erit etiam inco mensurabilis Enee c.fo quare eli nee .dig. quare perptimam ibat fi secundam partem .io huius: Diperficies a. b. in .e.g. que diequalis ruperficiei.a e in. e. b erit in commensurabilis quadrato lineria.b imet g quadratiς duarum lineamni. a. e M. e. b. pariter acceptis V Quod cum ita sit sequitur quoiv ut duplum si e ciet .a.e.im
piter acceptis e hoc erat monstrandum. CDue line equas.bee.1 .docet inuenire componunt lineam potentem in duo medialia si minori ea rum abscisa de maiorique reliqua est dicitur linea que iuncta inmine diali 'cit totum mediate.
a CPropter hoc multiplicias submultiplicia eiusde sunt generiti Utisine quinte distinitionis quinti libri dictum iit. Et ideo partes proprie
temper sunt de ratione totius .ffsic. c. s.cum sit medietas. c.d.etiam pertas. pS. huiuς erectius concluditur propositum.' ropositio Jo. I duellulee potennali termiatur onales coicantes in languoi recrunim coum rei tota linea ex hiscoposita erit irrationalior diceturque hilum tum.
CSint duet inedia. b. b. c. in corinnum .directum v coniuncte rationales inpotentiatim coicantes: quaς p .iet. ε13 reperies: dico totam linea .a. cicit eis compositam esse irrationalem ei evocatur binomiu. Est enim p quartam cundi quadratum. a. c. equale quadratiς duaru lineam a. b.Lb. c. duplo si pficieiuniuς earum iri altera: quadrata aut ambarum laciunt siti fici erationaelem ex ypothesi: duplu vero irperficiei unius earum inestina 'cit stiperficiem mediale ex.t .itam quadrata ambarum pariter accepta 'civisust fictem incomm msurabile duplo superficiei inius ea 3, in altera. inti επ. . quadratu. a. incom&3fiirabile duobusqdratis dua linea ν. a. b. st.b c. piter acceptis quare irrationalest diffinitione cum duo illa qdrata iam Lipficiem rationalem .ideo suu latus inragonicum quod est. a. c irrationale quo* pdiel nitionem: constat ergo propositum.
castigatorre Hec irrationantas 'cit insta ad huius. Et serat in ista. 3o .probam linea binomialis esse irrationalis per 4. lecundi ita in a. 6S. huius probatur idem de residuo sit linea irrationalis mediante. 7. eiusdem