장음표시 사용
231쪽
nyo.x.ypossiemis i. .veprotrabannir linere. I, p. t. l. .lh. diuisitim, tota piramis a. .d in duas piramides ql e sunt. h. b. e. l e .a. b. 1 .l. duo inistia quorum unum est.αh.l g. Roeli sic per basim quia an m. c. f.g. e.* aliud est.e g.d. h. I fi est sirper basim triairgulam e.Duabur aut piramidit . b.b. e. fa h.R. t. oe ipse I .nt equalci adicem sibi e toti piramidi .a b.c.d limit rei constat ex diffinitione cor pemm equinum fis ex.io. it. libris ex ecunda partea Maia Dduobus aut milibus stipsa sint lia constat ex ultima. .libri. Q uos vero ambo malim pariter accepta sint maius medietate totius pirami disi ex hoe manifestium est* vmini; illorum diuistitile est in dirupira naides quarum altera triangula equali, uni duarum in quax g lirantia totalis iramis diuiditur. a tera vero quadrangulaque dupla est ad trii quam quare patet ambo laatilia pariter accepta tres quartas evi totalia piramiais druile: hanc proportionem Deire desid ς. Iratam huius. libri consule sed iusticit tibi scire quantum ad propositum illa duo strarilia pariter accepta duas partiales piramides i quas fi lisatilia totalis dividitur pariter acceptas quantalibet quantitate excedere.
Propositio . 4. due pirantides eque alte quarum-trian gulae singule in binas piramides equaera fidi inm cena ac totismalleo binae stratiliaequalia o: mdatur erit proportio basiis ius ad basim alteri tan*proportio duorum stratilin M.uin ad Duo
se utilia a inius .erituppalax ora Mutiliaque suerint in viralibet illarum piramidum panin accepta ad cuncta stratiliaque in altera piramide sueniat eas idem babere propor timem in basiis eius piramidis ad tam aeterim pirami αλε sintdue piramides quarum tales mangule eque alte hec quidem. b. d.cuuis conus puri n. basis trian relin. b.e.cti possiemile.a.b. a. a. d.illa Vreo difff. h. cuius conus pun .e. striangaeus.f. b. I . themisce se g. e. h. heeasit Mepi ides diuidanmr sicut in premi friSm baneinam diuise hec quidem protractis lineis latera balli ipsius pet equalia diuidentibiis que sint. R. i. e. R in .illa vero protractit lineisque sint n. pri.q. dico ergo Importio basis.b cd. ad basim .LI h. disicut duorum s filium piramidica vites bacceptorum ad duo teraturi piramidis. e.pariter accepta. Iani fruri est aut ex. .sexti prese da. 31portio manguli b. cdad triangulum R. m. d est sicut linee b d. adii neam .R.Lduplicata st eandem quo est proportio trianguli.f. .h. astriagulsi.n. q.h sicut linee .f. b. ad linea .n .h duplicata Callit linea b.d. ad linea. d.liciat linea fh ad linea n.h. utrobi .me dupla uortio eru
8 sicut stratile exnς-lm adsti alueon; iupillup.33 undecimitat quo millit ad illud e sicut ambo; Masiliu piramidis a. piter 'accFrarum ad ambo alitia piramidis..e piter accepta ex .is vita neceste est.n. visit duplum ad duplum quemadmodusimplum ad simplum .ita con clude ex . u. quinti quod propositum est. Dormitas aut si dubitas mantia unius barum piramidum eque alta esse seratilibus piramidis alterius.esin. rit piramides eque altersit quo utra ear diuis, i duas piramides
let sibi toti simile; fi in duo alitiae ita Minidue pare lespiramidet eque alte eost similes e uale quod Hile patebit demissis a vertici a partialium piramidum pisendicularibus ad bast ipsinimi de quibus stpendicillaribus ex. 3Tm decimi constate , equaler. Cun altitudines harum partialium p ramidum pariter accepte componant altitudi nem totalis piramidii divise . Sin ambo Ieratiliaeque altavmpanialiam pilamidum ci vi licet ege superpartialem manuum ba
232쪽
lis piramidiς componitur non est phas ambigo e Bat lia ius earum si amidum esse eque a taleratilibus alterius ea uni Concitarium vero ex eo maestistu est si liter bai et prialiu piraminu sic se habeat ad inuicem sicut bina Datilia unius ad bi ira ieratura alperius. st quia balis partialium sic te habent adinutem sicut balcs totalium ex iccurida parte H .lcXtr permutata proportione constat .6.quii iti vettim cs, quod corrella rium proportit.
raro positio .sed piramides ne alte qu tria
gule sui3 basibus sunt proportiollates. EQuod 33. Undectinit biit de Ibddi ς paralellogra
imis fiui fine.3o undecit iiivryes deni origiata inuas de heratilibus.bec qumta. ix. p oi init de piramidibi utriat IPEς. intelligatur mi md parat indes eque alte qua γbalcri id trigoni .a f. b dico in proportio piramidi .a. ad pirami-dcm.b est sicut basis.a ad basini. b. quod eodem demonstrat Doriis vel argumentatioris p genere dona risirandium est quo iecitndam huius de emorimuimus litenim Vt basis. .ad basim b.ita piramis . a. 2d corpule de quo dico et ipsi in non crit minus nin maruspiriam de . b nam si
pos bile est visu minus esto minus in solido. d. vi piramis b. t equalis
duobuς corporibus .c.fi d paritet acceptis d ulla it i piramide. b. ut Fponit.3.detrahantur ab ea duo laatilia que ex premi;- runt maius medietate piramidis ipsius itera i ex utra' duari ni partialium residuarum piramidum duo earum predicto modo diuila una lini filia demant e fiat hoc totiens quotis expiramide b. cogatur aduersariuς p priniam M. confiteri relinqui minus ylido. d. eruntqi ex communi scientia lerarilia detracta maius c. fiat igitur a piramideria similis Matilium detrassio intelligainus tot serat ilia detracta esse expiramide a. quot detraxina expiramide. b. erit lex coirellario premi les ait basis.a. ad basim . b. ita 8ratilia detracta a piramide. Ladlisatilia detracta a piramide. b. sed e erat piramis. a.ad corpus .c.itaq, at ilia piramidis a. adleratilia pirami dis . b. sicut piranus. a ad corpus. c. lymutati sieratilia piramidis .a.ad piramidem .a. sicut arilia piramidis . ad corpus .c. Cun in t natilia piramidi .b. maius corpore. e. erutferatilia piramidiς. a. maiuς piramide
nec maius hoc enim posito cum sit proportio basis . a. ad basim . b. sicut piramidis a ad corpus. c. erit eco uel sis basis. b. ad bactim .a .sicut corporis. e. ad piramidem. a. Eritq, eadem ex communi scientia piramidis . b. ad aliquod corpus quod si id tequetur ex .r quinti φ corpus. d. sit minuet piramide. a. eo piramis. b. nitur amor corpore. c. Erit igitur bastia
demonstratum est qui impossibile videlicet ei arilia detracta ab aliq-piramide nisi ut este ea piramide aqua detrahuntur idem, re inquitur corpus. c. si quale piramidi. b. cum nec miniuea posti teste nec maluest portionem piramidiς a. ad piramidem. b. esse sicut basis. a ad basin b.boc erat autern demonstrandum.
aram possitio . 6. I astiae corpus si ra Ie ita tres pirata nil sequalestus sque triangulas I a atesciti CSitierat te a b c. d. e. Lipium dico ec diuisibile in treti phranit destriangillas equales. Protrahatur enim in una quam suarum tritim si perficierum parales logram rum fine a diagonalis itain una earum diagonalium si con-- terminalis reliquis duabus visi protrahas linea . b. d. b. s. e. fa quas propter confiissionem protrahae contempli erit totum, ante in trcs tria
233쪽
gulat ramides diuisum quas eo premis ibis assumpta mile constat et
eqrates. Quoniam autem Euclidcinthii demonstrandum proponit de piramidibus lateratis exceptis 'lidis his quarum sunt basies triangule ut omnium cognitionem ex clementisque ponit: Difficienter elicere possimust quedam arbitramur non inutile demonstrati inibus hic positis adiungere: stili enim elementis contentus Euclides multa preterm it quequamuis ex eis conjequantur non tamen sine difficultate patent thiden tibus: horum primum est hoc
CSi duo solida quoruni alterum suatile aeterum vero pirum is cuius balis triangula sinperea idem basiim aut super equales tri nas aut stratiae siuper quadrangialam piramis vero fiupertrigonanique quadragulae basis seratilis sit dimidi si ostituta meritat eque alta seratile piramidi triplum esse coia ueniet.
et Silerati e propositum fuerit super basim trigonam tunc ex piramide propolita si per propriam basim perficiatur scintile piramidi proposite eque altum. Si vero seratile fuerit super basim quadrangulam tunc basia piramidis adiiciatur triangulus ex quo fi basi piramidis perficiatur Dp scies equid stantium lacerum superquam ex ipsa piramide compleamrfratile piranu dieque altum. ura igitur istud ieratile feratili priori egeque altam e Vtrorunq, bal ssunt equales ex noth si,1 quitur ipsa esse
equalia f)oc enim demonstratum rit in .36. undecimi. at quoniam ex s. huius .i . libril rati elecundum triplume adpi, et idem propositaminam ipta est uria in is ibus piramidibi ς in quas is luna leratile aluiditur. Erit quoqi per comminem scientiam irroptastrum saan se triplum ad pro sitam pir init Gaii.
S, quot ibet pli amides qllarum basti trian Ie si per nave ndeq-.b siin me supci Nil ales conistinaterierint: eque alte sene ad inuicem equales necesse est.
Fabricato enim uno lectatili eque alto piramidibus propositiς iuperba in triangulani equalem basibus propositarum piramidum aut super. basim quadrangulam duplam basibus earudem: erit ipsim feratile ui plum ad piramides singiua ς. hoc enim constat ex premissa addita sue in te possita: igitur excommuni scientia cuncte proposite piramides sunt ut diximus ad inuicem equales.
mnes, piramides quarum basto tria ligula eque alte suis
CFiant superbale; propositarum piramidum aut iper alias trigonas equales aut super paralellogramas duplas liratilia ipsis piramidibus equealta erunt' ob hoc sierat ilia fbi inuicem eque alta fi quia itiatilia sis basibus sunt proportionalia ut probatiam est in. 36 undecimi 43. ipsus mediante Cunqi ex prima hamna additarum inanilis usit hec j ratilia
tripla esse ad propositas pira naides unumquod' videlicet ad Liam re a tiuam: balon psorum equales aut duplate e basibuς ipsarum sit aut .r
quinti ut triplum ad triplum ita implum ad simplum erutquot proposite piramides tuis basibus proportionales.
QSi melint di quelibet piramides eque alte teritin alteri risis trigona I et qucauicit e tragona aut plurilatera i pirami des ipsa Asinis basibus propor: tota alta esse coimcniet
Exempli gratia. Intelligantur due piramides eque alte super duas basi s .a.f. b. siti basis a triangula.b. vero penthagona. Et dicantur hee piramide .a.f. b. itat dico proportionem pira nudum a.g b. este sicut basia a g. b. diffinguat adem peti,agonus b.intro trian i s.c.d e. eritqi tota piramis. b. dristincta intrespiramides eque altas quarum bal sicut trianguli. c. d.rique etiam dicantur nominibus fiarum basium . quia igitur ex premisi, interposita proportio piramidis.c ad pira naidem a. e licui trigoni. aduigonum. a. st piramidis d. a piramidem a sicut tria ud.
234쪽
ad trigonum . .ite 3 piramir.e ad piramidem a sicut trigoni.e.ad trigonum .a.G.24.qninti bis asumpta sequitur et, sit proportio aggregati ex omnibus piramidibus. c. d. e. e ipsum est pirami .b ad piramidentia.s tagregati ex omnibus trigorii .c. d. e. stipsum est penthagorius . b. ad trigonum .a constat igitur quod volumus.
CSi altera earum sumitum balina trigonam ex premissa interposita confiat quod dicitur. Si autem basis vinul lueret poligonia viralibeti lamni basium resoluta in triangulosi ipsa piramide in piramides triangulat: erit ex premissa interposita portio uniuscuius harum trangularium piramidum inter quat altera propositarum diuiditur ad resi qua sicut e bas ις ad basim alterius . itaq; per. 1 . quinti quoties oportet aliuptam: constat verum esse quod diximus.
Propolitio .r 3 due rata ideo triangi lari ni secidit c quale G catiliar has o calui dem altitudin bus irritu eri lat.Si vero bases et ait trudi irco fuerit in ranae easdem pirantides sibi inuicem esie cqualco necesse est. j Q fiod trigesima quarta fi trigesima quinta undecimi proposueriant de 'Edisparalellogramis: grios iri. 5 eiusdem demostrauimuς deliratilibus: bec septima u. proponit de piram dii iis babentibus bases triangulas . T Intelligantur enim due piramides equales stipes duos trigono; vel triangillos. a. 1. b que dicantur. R. g. b. dico ita proportio basina .ad basim . b. est sicut oportio altitu dinis piramidis b. ad altitudinem piramidis.amst si hoc Iberit dico piramidet. a. b esse equa fer. Adhibeantur quidem duobus trigonis a.q. b. duo aliiAui sint. c. f.d ut fiant ambejuperficies. a. c.ff. b. d. vidistantiu laterum e ex ipsi spiramidibuς stiperba ema. c.gb.d. compleantur solida paralellogram a piramidibus propositis eque altaque similiter dic ritura. c. e b. d. Namst ut ture ex tota huius.u. piramis a est B:ta pata solidi .a. e. 6 piramiς b. xta 'lidi.b d ita' ex.3 s. undecimi argue propositum: primam quidem partem ex prima. secundam autem ex lecunda.
CQuod si due quelibet piramides laterate fiterint equales earum bases eariandem altim albus mutue eruiit. Si vero ba sis earum altitudinidiis ipsarum mutue fuerint easdem pira mides equales esse oportet. si Si balet utramnq, fiterint triangule demonstratum est verum esse
quod diximus. Sist altera tantu igitur. a.basis sterius piramidis sit. b. grumatur trigoniit c. equalis poligonio b. fiat super. c. piramis equealta piramidi que est supcr.b.ffsiuit . a. b. e. equivoca nomina piramidusiba rum. Quia igitur ex ypothesidue piramide .a. q. b. strat eqlecti evllatina interpositarum ad textam huiu dum piramides. b. q. c. 'rit eq-les: erunt ex communis cientia epiramides .a.ffc. equales ' igitur base; earum stat mutue ad altitudines eamna ex prima parte et huius. Cum baleς b. l. c. intequales altitudineς quo piramidum b. e. .equales. Erunt exprima parte electanda. 7. quintibal na .e. b. mutue altitudini huypiramidum a. f.b. TSecunda pars couerso mo probaturrinam si frerit basti. a.ad balint.b ut altitudo piramidis. b. ad altitudine piramidis
in. .c. fiant equalere quare p comunem sciam due quoa piramides. a. fi
el I. T Si vero .neutra propositarum piramidum liberit
235쪽
trigona scdutra poligonia. Verbi gratia altera pentagona altera Otagonaque adhuc dicari rara. q. b. sumatur sumiliterni agitus c. equalis exagono . b.super quem fiat piramis eque alta pira naidi. b. eruntqidue piramide . b. q.c.equale .ideo' dueque sciat. a.f.c eniam per conceptionem equale quare basi; a .ad basim . c. sciit altitudo piramidi .c.ad altitudi Menapiramidis .a. hoc enim nuper demonstratum est. Est ergo ex septi a quinti balis.a. ad basim . b. sicut altitudo piramidis.b .ad altitudinem ramidi .a. Conuer-c ei Omodo patet. si enim basis a. ad basim .b .suerit ut altitudo piramidiς. b.ad altitudinem piramidis .a. erit C*πlein pnma quinti taliς. a. ad basim .c. ut altitudo piramidis'.c. ad altitudine piramistisa. ideo' ut pater ex prioribus enmt due piramides .a g. c.eq ales quare etiarn ex communi scientia si due que fiantia .c . b. erunt etiam
equales. Et hoc est propositum.
- iij in duarum piramidum similiuni qua rim
sic striangulae portio alteri ad altera ranis lalteris adlatus eiu elaturum propor no triplicata.
I CProposivit duabuς piramidibus balti triangulas habet tibiis similibus ex ipsis perfice duo solida parate logramat quemadmodum cjicium est in demonstratione premi feteruntqhec duo 'lida paralellograma similia eost piramides ponuntur simileς ad inuicem nam duo solidi anguli qui sunt coriani unes pira midibusqfolidis paraleslogramiς 1υν fictalibus angulit numero quantitate equalibus continentur: si latera quoqi illos anPlos superficiales cotinentia stat proportionalia quare exo4. primi tres superficieς solidorum relellogramorum communes angulos solidos constituentes Iuni equiangule fi laterum proportionalium .idem, simile ex diffinitione stim itum sit perficierum: quare ex 24. . 13. quintio innes superficies horum duorum solidorum paralellogramorum si nisi miles ad inuicem i igitura distinitione corporum similium erunt ipsὰ solida similia: quare cum oportio follidorum spiramidum sit una ex. Is quinti nam solida sitiat B:-cupla piramidibus ex sexta huius. cun sit proportio solidorum una β -- cut suorum relativorum laterum triplicata ex . 36. undecimi libritSint rem latera solidorum eadem quot latera piramidu. erit quo
Ir. quirin proportio propolitarum piramidum sicut suorum relativo
rum laterum proportio triplicata: quod e propositum.
EQuodsi stimiduequelibet piram: late rate similes ei it portio alterius ad alteram ficiat sui lateris ad sibi relatiuum
latus alterivo proportio triplicata. Sint due laterat epiramides quarum coni. a l. b. mile; sintq, Lip ba
νς penthagonasque furit.cd. e. fg. h. .l. m. n.dico proportio earum eiicut suorum relativorum laterum triplicata. Constat enim ex diffinitione similium Liperficierum fi corporum penthagoni qui ait bales propolitanam piramidum sibi: ad inuicem cuncti Q reliqui trianguli iplas ambienteς sibi inuicem sunt similes Dividantur ita tales ambarum in trianv los imi est numero. uales prout is ibiti proponites e postibile: protractis in hac quidem linei .c. e.g. c. f. in illa Vero. h.l. l. h. m. Di co igitur ista piramides e te durisas in pirantides triangulas similes fi mi
mero equales. Constiantur enim ad inuicem due piramides. a. c. d. e. b. h. R. l. quarum coni finit. a. f. b. cons at autem ex ypothesi triangulum. c. a. d. e lesimilem triangulo. b. b.9. fi triangulum. d. a. e. triangulD .R. b. l. st quia etiam ex ypothesi angulus. d. esse qualiς angulo . R. e latera. c. d. f.d. e. continentia angulum. d. funt proportionalia lateribuς. h. l .el .l continentibus anguιum . . runt in .F.ltacti duo trianguli c.d. e. g. h. l.equianguli. ideoqi. per. 4 soti erit proportio . c. d. ad. bl R sicut . c. e. d. h. l. it ex Tpothelisit propono .c Zad h. b. st etiam. a. e.ad. b. t. stau
236쪽
m. ω itie diffinitione similium superficierum triangulus cin. e. erit similis triangulo .h. b. Lmanimium est ita ex diffinitione similium corporum φ piramii c. d. e. est jimilis piramidi. b. h. quo ι collat piramidem a. cieaeesse simile piramidi. b. h. l. in f piramidema c. f. I. piramidi.b. h. m. n. Quis ergo tae bacci uorti piramidis .c. d. d pirat ni dem. b. h. R. Lest sicut lateris .c.d. ad latus .h. triplicata fietiam piramidis . a. c.e.fad piramidem . b. h. l.m. sicut. e.f. ad Trii. triplicata. acetiam piramidis a. c. fg.ad piramidem.b. h. m. n. sicut. c. p. ad h.n triplicata cum sit ex ypotheti pro mo. e Lad. l. N. st . c. g ad .h n.' at c.d.ad .h. R. uitur . n.quinti ut propomo totalium piramidua.st.b sit sicut unius harum partialium ad aliam unam. igitur ex hac S. st undecima quinti constat verum esse auod diximun
omnes coIumne laterate eque alte suis basibus fiunt
portionales. CUerum quod dicitur super qualescu* bases poligonias sint columne. Columnas autem lateratas VCcamus 'lida corpora laterata quorubalei Clup ciet suppremerunt sinite; gequales. cuncte vero restaue sum ficies ipsa solida circumstantes fiat equidigantium laterum Talium autem 'lidorum prima isecies ebat illa cum super vita sitarum tritateramna superficierum intelligiturni statutum. Secunda vero specieres columna cuius basis sit quacritatem quam ex duobus lisatilibus neces e est esse compositam: tertia est citius basi ς epentagona fi ipsa ex tribuς
ranii diis p. citur. Simpliciter aute dico et, omnis latreata columna in tot corpora Ieratilia potest distingui in quot thiangulos basib. In telligamur ita due columne laterate.a .e. b. con ivite fum duas bases R. ff.dieque alte. dico P proportio columnanim . a. Lb.est sicut basium. a. e. b. Distinguaturna here tales in triangulos fibre columne inlisae filia: basis quidem a. que ponatur esse quadrangula in duo s trigonos s. l. d.ε columna. aan duo seratilia. c. g. d. basis vero.b. que sit penta gona distinguatur in tres trigonos . e. f. g. geolumna .ia'n tria milliaque simili in vocentur e.Lg. V Vanis ara est igitur ex his que ur.35. v decimi dicta iurat g, proportio laatilinc serant cie .est sicut basis. c. ad basin .e. iterum lci itilis. d.ad riatile. cisicut basi .d.ad basim.α quarem . x quinti erit columnecia ad iciatile. e. sicut basina. ad basim. e. eaderatione erit columna .a adferatile. f. Mut basii, a. ad basim. f. at rursus colum e.αadsimille g.sicut basis. a. ad basim . v Idnum. α4. quintiquotiens necdseliterit assumpta 'eile coneludes propositum constat ita ι ex hoc γmnes coaemne latera te super eandein basim vel seper equales constitute siluerint ire a Ite erisit equaIes.
CCum enim ut proximo probatum est eque alte colvmne latera te sint suis basibus proportionales. ponantur autem tales esse aut easdem aut equales necesse est ex . 14 . quinti ut etiam columne sint equales conflat quo* Φ.C Gisierit itquelibet Mida paralel Iogram a siet altilia et late rate coI nc eque alta ipse quom sivis basibus proportionalia esse necessario comprobantur.
Omnia enim bee Necte sunt laterat Rum columnarum de quibus paulo ante uniuersaliter probatum est verum es e quod dicitur.
Sinnis saterata columita triplae ad suam piramidem
CDistinguani basis columne in triangtilos f fecundum numerum triangulorum illorum distinerratur columna in lirati me piram ς co a ne in piramides habentes bale; triangulas que videlicet 'rat bales aerari lium. constat it V, unum quod ratile ad eam piramidem an e stir reandem basim cum ip=o sciatil, consistit triplum ei Ie hoc eri ni demo et gratam est intexta huius duodecumi libri: igiω ex. U. qui tui omnia
237쪽
icratilia pariter accepta ad omnes piramide pariter accepta neces= es cilie triplum curiclinomnibuς sierat ilibus pariter acceptis columna lex omnibuς piramidibus pariter acceptis piramis columne 'ficiantur coe 'at veram esse hanc nos iram propositionem.
CSigierint duequelibet columne laterate equeses:earum bases earundem altitudinibus mutue erunt Si vero bases earus et alti dures mutue ruerint i easdem columnas equales esse necesse est.
Si enim columne sint equaleς earum piramides erunt equales eo omnis laterata columna est tripla ad suam piramidem.si autem pirami des fuerint equales luebales sitis altitudiniis mutue erunt quemadmo dum demonstrarum est in istima huius 7 Quia igitur columnarum suarum piramidumeedem sint tales galtitudines fiunt eedem con stat prima pars propo iti. Sintigit bases altitudines propositarum
columnarum lateratarum mutue t dico columne erunt equales , eum
enim eredem sint baseς redem I alii rudine sco Iumnarum suarum v pseramidum terunt bases fialtitudines piramidum propositarum columnarum mutue. hoc ut positum est verum fuerit de columnis. erunt ita piramides equales prout in septima humus demonstratum est igitur e columne equales cum ipse triplelint ad tua spiramides: quare patet jecunda pars eius quo propositum est.
a mnanium duarum columarum Iateratarum similium est portio aeterius ad alteram tan*lateris ad suum relatiuum
latus proportio triplicata. CSi columne luerint similes erunt ex di initione similium csrporumbates earum ceterest superficies eas ambientes similes. Dividantur italbases eanim intriagulo ς similes fi numero equales quemadmodum. IS.
smi proponit se postibile: ei p=columne dividantur insieratilia super hos triantulos existentia.stude igitur probareseratilia Unius suis relati uti seratilibuς alterivi esse similiai quod 'cile probabis ex ypothesigstria fi quartas quinta sextii fidi anitione miluini stipe ei me diffinitione similium corporum hoc,ut probato erit o.36. undecimi pro portio uniuscuius servilis unius ad bum relatium stratile alterius licui sui lateri radiatus illius proportio triplicata: Et quia omnium laterum est proportio una cum cuncta servilia uniuς sint similia ruix relativisse .
ratilibus alteri .sequitur ex undecima quinti ut cunctorum malilium
vnius ad 'a relatilia 1 tilia alterius sit portio una quare per. 13. quinti que est proportio unius ferati iς ad si una servile relatiuum alterius eadem eli omnium pariter acceptorum ad omnia pariter accepta e quia utrobi omnia ratilia pariter accepta componunt columnat e relati ua latera teratilium iunt relatiua utera columnarum necessi est ex undecima quinti vi proportio columnarum sit sicut suorum relativorum laterum proportio triplicata quod est propositum.
'' Iximna rotulida piramidi sue triplex e e
CSupra circulum . a. intelligatur una columna fi unal piramis fecundum eandem fiam altitudinem erillet di l canturqi equi uoce ipsa pira mitificolumna circuliis no λώ mme uno scilicet a dico ita et, columna.a. est tripla ad piramidem a. cuius probatio est quia' iri, maior neri minor potes es=q tripla. Sit enim primum si polybile enaaior g tripla quatitate corpori tb ita φβ. b. corpuς dematur de columna a. erit residuum eius triplum ad pirantidem. a. Insaibariar ergo quadratum circulo. a. per quod eriganuae duo aerat ilia eque a ta columne a. de quibus duobus laatilibus pari
238쪽
ter acceptis constat q, ipsa stat sita medietate e lanandia . quemadmo dum iniim quadratum con tesse plus medietate circuli .a. Si enim in ipsis sciatilibus perficiantur solida paralello grama quorum ipsa fiunt me dietates: erit ipsa columna pars inorum duorum polidorum pariter acceptorum. TDeinde super latera quadrati inscripti perficiam quatuor tria gulos duum equalium laterum in portionibus circuli quarum portionulatera quadratistunt corde diuisis arcubus illarum portionum per equalia fi sint illi trianguli. c. d. cis super quos etiam eriν sciatilia ad altitumnem colum .a e manifestum esto hec ieratilia isent maius medietate portionum columne super portiones circiali consi lentium quemadmodumst ipsi mari ulliunt maius medietate portionum circuli. Irit autehoc totiens quous per primam .ro .cogatur adu rius confitai portiones columne uiter acceptas esse minus corpore. b. TEri igitur colum ria laterata octogona quam componunt omnia Datilia pati ter accepta quotum bales sunt trianguli diuidenterpoligonium inscriptum circulo a. maius δ triplo piramidis rotunde .a. st quia ipla laterata columna est tripla ad suam piramidem sicut demon uatum est in eisque premissarunt sequitur ex secunda parte. 1o. quinti libri ut rotunda piramis. a. sit
minor laterata piramide latera te columne cuius basis est inscriptum po- ligonium basi rotunde piramidis. a. quod est impostibile. Est enim pi ramis laterata pars inius piramidis rotunde inon est igitur pirantis .a. minus tertia parte iue colume. sed nec plus tertia. Si enim postibile eis:
sit piramis a plus tertia parte columne. 3.quantitate corpori . b.itas detracto corpore.b. de piramide.a.sit residuum ipsius piramidiς tertia pars colamne .a.igitur quemadmodum prius expiramide. a. intelligatur de
trahi piramis laterata sibi eque alta cuius basis sit quadratum circulo .a. inscriptum quam lateratam piramidem constat ei se plus dimidio piramidess rotunae. Item de residuo piramidica.ruritu intelli Mntur detrahi piramides eque alte stanti est prr triar Ploir. c. d. e. f. qui iunt in portionibus bactust hoc totiens fiat ut exprima decimi relinquatur ex pirami dea. minus corpore. b. Erit italpiramis laterata inscripto poli Ionio fit pergans quam componunt latera te piramides ex rotunda piramide detrat e maius tertia lis erotude columne.αε quia ut probatum egi preeedentibus hec piramis laterata est tertia pare sue columne laterate .a. legtur denuo ex secunda parte .M.quinti libri colvmnam rotundam. a. e eminorem columna laterata eiusdem altitudinis cuius basis e poligoniabas rotunde piramidis inscriptum: hoc autem impossibile: nam hec columna laterata partes columne rotunde. Cum igitur columna rotunda non possit esse minus triplo ille piramidis nel maius: ait necessaria tri pia ad eam quod demonstrare volumus.
a CQuia minu; deficit ad complendam totam columnam si triplo cui deficit corpuς. b. qd maius est portionibuς columne piter acceptis. he Cum quelibet tertia pars huius sit maior tertia parte illius rotunde. Ideo tota totali.
Propositio .Io. nium inrarum rotundarum piramidii simisi uin columnarum ve rotundarum fimilium esta portio alterius ad alterataramo iametri saeta fio ad diamet* basis alterius .pportio triplicata.
Sint duo circuli. a. g. b. stupet quos constituatur duero de piramides similes due columne rorem de similes e dicantur circuli fi piramides C columne e diametri circulorum his noldius. a. g. b. equivoee:dico it ist proportio duarum piramidum a. l. b. duatam columnarum . a. R. b.epsicut duarum diam erectam
239쪽
a. l. b.s,portio uel uata: hoc autem si deprimissi reons erit ide m lamnis autem constabit ex. n. quinti m omnis columna rotunda sit ex premissi, tripla ad suam ramidemide piramidibus autem constabit hoc demonstratione ducente ad impossibile . Est enim per communem mmtiam positam in principio secunde demon' ationis huiusati libritque proportio diamem. a.ad diametrum. b. triplicata: eadem pirami
clis.a ad aliquod corpus. Illud igitur corpus lit. c. de quo dico , i in
non potest in eminus neqmaius piramide. b. Sit primonimus si fuerit postibile quantitate corporis.d ita si, duo corpora. αε. d.pariter acceptat in suantum piramis. b. itaq, quemadmodum in Hunda parte pre mille expiramide. b. detrahatur laterata piramis sibi eque alta cuius has iς sit quadratum inscripium circulo . b. fi ex residuo eius detrahantur piramides eiuςdem altitudinis consistentes krper trigonos portionum circuli. b.fiat ita hoc totiens quous*cogentesmina .io. st residuum piramidis. b. minus corpore.d. erit ex communi scientia laterata piramis detracta quam componunt partiales piramides detracte maius corpore c. Inscribatur ita circulo. a. pollyonium limite illi quod est basis latera tep ramidis detracte a piramide. b.ffad angulos huius poligonii inreti pii circulo. a.demitte lineas a cono piramidica. perficiens per illud poligonium lateratam piramidem eque altam rotunde piramidi . a. hanc
igitur studeas demonstrare esse similem laterat epiramidi detracte aro
tunda piramide. b. quod hoc modo 'cier. Ιrivetrach piramide inges axem ipsiuς qui erit ex difnitione linea continuans verticem piramidis cum centro basis st erit perpendicularis ad basim. γehinea centris basium protrahas in utro circulo semidiametros ad omnes angulos viri
vi poligonii inscripti cunet ex distinitionea similium piramidum rotu adarum sit φportio axi ς unius ad axem alterius sicut diametri basis unius ad diametrum balis alterius ideo , etiam π.6. quinti equa proponionalitate sicut mi ametri ad se id metrum sint autem utrobi b om nes an liquos re cum Paeti diametris continent recti neces= est ex foe
ta positiones syti libri guta eiusde si diffinitio e similiusti; civ e si
miliu*corpo3, diffinitio evi laterata piramitia .sit similis laterate pirami Ei.b.qrem additam a d.3. huius proportio laterare piramidina. in late ratam. b. est sicut Iateris unius ad Luum relatiuum lampalterius propore Eo triplicita. de illicut diametri .a.ad diamet .b.triplicata.igitur
quo sicut rotunde 'amidina.ad cor tic erum quinti quare permutatim proportio lamate piramidis . a.ad rotundam piramidem .adiculia.. erate piramidis. b.ad corpus.c. Et quia laterata piramis.b. maiores corpore. c. erit laterata piramis. a. maior rotunda piramide Q. quod estim Apostibile cum sit pars eius.Non est ergo corpus. min rotunda pirami de. b. Rellat ital probandum et, nec maius. Si enim aduersarius dicat ipsem esse maius tunc arguatur oeconuersa proportionalitate proportionem diametri. b.ad diametrum .a..triplicatam esse sicut corporis .c. ad rotundam piramidem. a sed ex conceptione eadem es rotunde piramidis Nad aliquod corput aliud quod sit.d. g quia ex ypotbdicor sic.maius est rotundariramide. b. sequitur. ex .t quinti q, rotunda piramis .a. sit maiorcorpore. d. ita pro moroninde pilamidiς. b. ad corpus quod eminus rotunda piramidera. videlicet ad . d. est similiae diametri. b. ad diam im alterius proportio triplicita.hoc autem est impossibile. na hoc demonstrauimus equist pars sit maior suo toto. cum ergo cor pus. c. non possit mimas essene maius rotanta piramide. erit nece Orio sibi equale.ideo ν ex ktanda parte.nquinii costat propoli . Non lateat autem nos huius demonstrarionis processum ad eas dumtaxat columnas spiramidis rotundas coartari quarum axes sitis basibus perperidiculariter insillanti tales enim diffinite luerunt in principio undecimit cum tamen pallio hie demonstrata communiter conueniat omnibus
columnis rotundissimi Ebuspiramulitiust tundis limi ibis siue ω
240쪽
minaxes super bases fias rerint orthogonaliter erecte sue sup eas frerint inclinat ei fi appellentur distermite caua hee rotunde columne piramiere quarum bactibus axes orthogonaliter superstante recte: relique vero dicantur inchnat ei fi quia in mincipio. ri. non sunt difnite columne aut piramides romnde nisi ille tantamquaς erecta vocamus. bee quid εpermotum paralellogrami rectanguli ille vero per motum trigoni re ctanguli. ideo conuenieris arbitramur diffinire columnas rotundas pi ramides di finitionibus communiter g vniuoce conuenientibus erectis
g inclinatis columnis st piramidibus rotundis. Cum igitur extra sirper-ficiem ali citius circuli descripti signatur punctus qui cum circum entia ipsius circuli per lineam rectam continuatur si linea ips, signato nancto
manente fixo descripto circulo quousqi ad locum unde moueri incepe riticircumducatur : corpus quod a curua sirperficie quam motu suo des albi theclineae ab ipso circulo culcircumducitur continetur voco piramidem rotundam. g circulum cui linea hec circumducitur voco ba
sim ipsius piramidi . fixum autem punctum extra circulisti fictem signa
tum voco corium piramidi S : Imram rectam conciriuantem centrum
has cum conopiramidis appello emini sagittam piramidis. Cun hec sagittasia erit perpendicularis ad basim dico piramidem esse erecta cum vero inclinata dico etiana piramidem inclinatam. Cum autem
fuerint duo circuli equales de crini in superficiebus equi distantibus
quos una plana superficies per eorum centra tran enς le erit fierint continuat per lineam rectam due relative iectiones duarum circumstretiarum i pyrum circulorum. Si linea be cincircum irentiis ipsorum circulorum equidis tersitula quo moueri inceperit quousq ad locum thum redeat circuriducaturi corpus quodamma superficie quam , ' uiuo describit heclinea fia duobus propostis circulis continem et Icotamiam rotundam cuius axis siue sagittae si linea recta centra duca circulorum continuans. Et cum heres intra frictit perpendiculari adficipsctem utrius duorum circulorum: dico columnam es e rectam. Cum
vero fierit stiper basim inclinata dico columnam esse inclinatam. Cui fuerint due rorunde ramides aut columne aquarum axibus egrediantur duel afictes stiperbanearum orthogonaliter erecte fuerintq an guli quos axese communes liniones harum superficierum C risum
c tinent ad inuicem equales fili terit proportio axis unius ad axem alterius sicut stimat diametri basis unius ad se idiametrum basis alterius: tune illas duas ramidet adinvicem aut illas duas columnaς adinvicedico simile; est His diffinitionibuς positis demonstrandum est Φ omnium duarum rotundarum piramidum similium columnarum verorudamin sinultum sue erecte siue inclinate fresa test proportio unitu ad alteram sicut diametri basi; unius ad diametrum basis alterius propor tio triplicata quod de 'lis erectis demonstrarum est ad hoc autem premittimus antecedens necessarium.
a 4mihinitio non dicit hoc sed ex permutata proportio .ellcim. Quo niam si proportio axis unius ad diametrum fite basis est sicut axis alte rivi ad diametrum sue balis. Ergo permutatim axis unius ad axem alterius licui diametri unius ad diametrum alterius D.
CSi fiterint diuerotunde piramides adinvicem similas virataminiam in due reane supcrficies se per axem secent lacrint. hai una duarum superstrimina altera in utram piramide se perbassim cius orthogonaliter erecta at arciis basium in aer illas duas superficito contenti similest elut aliguli quos axo5 et due