장음표시 사용
51쪽
um; si aliae rectae, aliae curvae mixtilineum . Inter rectilinea triangulum tantummodo attIngam, & quadrilaterum . Figuram vero curvilineam in hac quidem Sectione exponam nullam praeter circulum . Iam de trianguIo. Triangulum est figura tribus lineis contenta , uti
quales sint, dicitur aequilaterum ; si duae tantum , i sceles; si omnes inaequales sint, scalenum. In omni quidem triangulo tres sunt anguli , iique simul sumti semper duobus rectis angulis pares inveniuntur. Id primus omnium demonstrasse dicitur Thales Milesius. Hinc alia triangulorum divisio orta. Nam si triangulom habet angulum unum redium , uti ABC Fig. 8. in quo angulum ABC rectum pono, tri. angulum dicitur rectangulum ; & latera quidem B A,
B C, quae angulum rectum comprehendunt, dicuntur catheti; latus vero AC, quod opponitur recto angulo, hypothenusa. Quod si triangulum habet angulum unum obtusum, dicitur obtusangulum; si nullum neque obtusum, neque rectum , sed acutos omnes, dicitur acutangu-
Quamvis lineae, quibus triangulum componitur,
Omnes dicantur latera, solent tamen mathematici unam ex iis pro voluntate accipere, quam vocant
b sim I punctum vero , in quo constitutus est angulus basi oppositus, vocant trianguli verticem ,' di Tom. III. F sau-
52쪽
stantia porro verticis a basi , dicitur altitudo trianguli. Itaque si in triangulo Α Β Ο ς. probasi acceperis latus B Ο, erit punctum A vertex trianis guli, ae distantia puncti Α a basi , id est perpendi eularis A P, erit trianguli altitudo. Hactenus de triangulo . Nunc de quadrilatero. C A P. IV. De Quadrilatero .
Uadrilaterum est figura quatuor lateribus , sue
lineis contenta. Quod si latera opposta parallela sint, quadrilaterum parallelogramnum dici intur . uti A C Fig. Io. , in quo puto latera A B, D C parallela esse , nec non iti latera AD, B C . Quod si praeterea recti snt omnes anguli. parallelΟ- grammum rectangulum dicitur, uti Q R Hig a in quo pono, omnes angulos λ, Η, R . E , rectos esse. Ac si praeterea latera omnia aequalia snt, rectangulum dicitur quadratum , uti M S , Fig. Ia. in quo latera omnia aequalia esse volo. Linea recta ducta ab uno angulo ad angulum oppositum in parallelograπmo sive rectangulo, sue non rectangulo diagonalis dicitur, uti A C, E H , NO. a adrilaterum , cuius latera opposita non fiant
parallela, dicitur trapezium , uti S Z , Fig. 13 - in
53쪽
Ac DE THEOREΜ. GEOM. 43 in quo puto latera opposita S O , T Z minime parallela esse. In quovis parallelogrammo solent mathematici unum latus pro voluntate accipere, quod basim nominent . Perpendicularem vero a quovis oppositi l teris puncto ad basim ductam vocant parallelogram.
mi altitudinem. Quare si in parallelogrammo ER Fig. I . latus NR pro basi acceperis, perpendiis cularis P χ, quae a puncto P lateris oppositi E Musque ad basim N R ducitur, erit parallelogrammi altitudo. CAP. V. De Circulo .
Irculus est figura, in qua punctum quoddam estaeque distans ab omnibus perimetri, idest ambitus, sive peripheriae punctis. Quod sane ex ipsa circuli formatione colligitur. Alia etiam afferri solet circuisti definitio, de qua infra. Si linea quaevis recta iuxta circulum ducta eius peripheriam sic attingat, ut intra circulum ipsum nullo modo se immittat, ea dicitur tangens circuli, uti AB Fig. is. quam volo circulum P S se attingere in P, ut intra ipsum circulum neutiquam ingrediatur. Demonstratum est, contactum P fieri in cino F a tan
54쪽
tantum puncto ; a quo puncto discedentes tum recta P B , tum arcus PQ statim aperturam quamdamessiciunt, sive angulum mixti lineum . Demonstratum quoque est, per hanc aperturam duci posse a puncto contactus P quotlibet lineas curis vas, puta P M , quae sic ferantur inter tangentem PB, & arcum P Q , ut nusquam in circulum incuserant , cum nulla tamen linea recta per eamdem aperturam hoc modo duci possit Q iam cunique enim lineam rectam duxeris a puncto P, quae angulum quantum lioet exiguum faciat cum tangente P B , nunquam essicies, ut eadem intra circulum P S non
de se immittat. Quod non sine admiratione aliqua ab iis praesertim accipi solet, qui interiorem geometriam nondum scrutati sunt . Ea re fit , ut per punctum quodlibet una dumtaxat tangens duci possit.
De Proportionibus . C A P. I. suid sit Proportio, quid proportionalitat . Roportio est relatio unius quantitatis ad aliam ,
quatenus vel eam continet, vel ab ea continetur.
Sic relatio, quam habet numerus to ad 3 , quate- . nus ipsum bis contiac zi dicitur proportio .
55쪽
Quantitas, qnae ad aliam refertur , dicitur antecedens proportionis; ea , ad quam refertur , dicitur consequens; ambae autem dicuntur proportionis termini. Potest proportio esse sive maior, sive minor; potest enim una quantitas aliam continere plus, minusve . Sic proportio 8 ad a maior est , quam Ios. Nam io continet I bis tantum, cum 8 contineat 2 quater. Proportionalitas est proportionum aequalitas, quae tum habetur, cum una quantitas alteram continet sive ab altera continetur toties , quoties tertia quaedam continet quartam , sive continetur a quarta ;nam tum proportio, quam habet prima ad alteram, aequalis dicitur proportioni, quam habet tertia ad
Itaque proportionalitas in quatuor eonsistit te minis , quibus duae proportiones coni nentur. Teris mini autem , qui in duabus hisce proportionibus anmtecedentes sunt, dicuntur sibi mutuo homo uigi . item qui consequentes. Hi numeri q a , t O , proportionales sunt ; eadem est enim proportio A ad 2 , quae ro ad 3 . Quoniam ergo Α & io in his proportionibus antecedentia sunt, erunt etiam homologa , item a. & s, ut quae ambo consequentia sunt, homologa inter se erunt. Duos quidem terminos, in quibus una propo tio consistit oportet esse eiusdem generis , Per. gr. vel duos esse numeros, vel duas lineas, vel duo
56쪽
tempora ; nam numeri ad lineam nulla est proportio, neque lineae ad tempus, neque temporis ad
Tamen quatuor terminos , in quibus consistit proportionalitas non omnes oportet eiusdem esse generis . pollunt quippe duo esse unius generis , alii duo esse generis alterius; quid enim impedit, qu minus numerus numerum Contineat toties, quoties linea continet lineam , ideoque numeri ad numerum
eadem sit proportio, quae lineae ad lineam C A P. I I.
De Proportionalitate discreta , ω eontinua . IN quatuor terminis, quibus proportionalitas quae que continetur, plerumque accidit, ut secundus letertius inaequales tint, & diversi , ut in his Io, s , 8, 4. Accidit etiam aliquando, ut aequales, sive iidem sint, ut in his 8 , q , Α, a . Si i naequales sint, proportionalitas dicitur disereta , si iidem snt. continua. Ac proportionalitas quidem continua consistere dicitur in tribus tantum terminis, quorum unus pro duobus est . Tres autem hi term ni dicuntur continue proportionales. Sic proportionalitas, quae est in quatuor terminis 8, , , a, consistere dicitur in tribus terminis 8, 4, 2, atque hi dicuntur continue proportionales esse. SI
57쪽
Si duae quantitates simu Γ multiplicentur, quod multiplicatione essicitur, dicitur illarum productum, interdum etiam rectangulum. Sic quoniam multiplicando a per 3 fit 6, erit 6 productum, sive rectangulum numerorum 2 , & 3 . Quod si quantitas quaepiam per se ipsam multuplicetur , productum, quod fit , dicitur eius quadratum , ipsa autem quadrati latus, seu radix dicitur . Quoniam ergo multiplicando 3 per 3 fit 9 , exit 9 quadratum num est 3, ac numerus 3 erit radix, si te latus numeri 9 . Si termini quatuor proportionales sint, demo stratum est, productum extremorum aequale esse producto intermediorum. Ex. gr. proportionales sint hi quatuor termini 8, 4, Io, 3 ; productum , quod fiet multiplicando ου per 3 , qui sunt termini extremi , aequale erit producto , quod fiet, multiplicando qPer Io , qui iunt termini intermedii . Quod si termini tres continue proportionales fuerint, uti 8 , Α , a, Productum extremorum 8, 2, aequale erit quadrato intermedii 4 .
58쪽
SI proportiones fuerint quotlibet, ver. gr. 3 ad si
8 ad 4, 1 ad 3 , atque omnia antecedentia 3, 8, a simul multiplicentur, itemque multiplicentur simul consequentia omnia 3, 6, 3, proportio, quam ha bebit productum illorum ad produinum horum , dicetur composita ex proportionibus illis omnibus. Itaque proportio, quam habet q8 ad 6o , est composita ex tribus 3 ad 3 , 8 ad 4 , a ad 3 ; fit en iniaq8 ex multiplicatione 3 per 8 per a , α ex multiplicatione 3 per A Per 3 .
Si proportiones, unde composita essicitur, sint duae tantum . eaeque inter se aequales , sive , quod eodem recidit , si una tantum proportio sit, & ea quidem bis repetita , propcrtio composita , quae ex hae fiet, dicetur eius duplicata. Ver. gr. st proportio eadem 3 ad 4, 3 ad 4 bis repetita, ac fiat proportio composita , multiplicando 3 per 3 , & 4 per Α, ponendoque Producta se & Io; erit proportio sad io duplicata proportionis 3 ad 4.
Quoniam vero multiplicando 3 per 3, productum , quod fit, est quadratum numeri 3, & multiplicando A per q. productum, quod fit, est quadratum numeri Α, idcirco proportio duplicata dicitur tiam Proportio quadratorum. Sic
59쪽
DE THEOREM. GEOM. . 9Sic si posueris proportionem et ad 3 , ac Veli Seius duplicatam ; fac quadratum pumeri a , quod est 4 , & numeri s , quod est 23. . habebisque proportionem A ad 23 , quae erit duplicata propoitionis et ad 3 , eadem , qu. E quadratorum . Quod si proportiones, unde composita essicitur, tres sint, eaeque inter se aequales, sive , quod eodem recidit, si una tantum proportio sit,& ea quidem ter repetita, proportio composita, quae ex hac fiet, dicetur eius triplicata. Ver. gr. sit proportio
eadem 2 ad 3 , 2 ad 3 , 2 ad 3 , ter posita, ac fiat proportio composita multiplicando a per a per a , ac 3 per 3 per 3 , ponendoque producta 8 , II; erit proportio 8 ad aT triplicata proportionis et ad 3 .
Quoniam vero multiplicando numerum quemvis
per se ipsum bis , uti a per a per a , productum , quod fit, dicitur eius cubus , qua de causa 8 est cuishus numeri a , similiterque a I est cubus numeri 3 , idcirco proportio triplicata dicitur etiam proportio
Sic si posueris proportionem 4 ad 3 , ac velis eius triplicatam , fac cubum numeri Α, multiplicando per A per q, qui cubus erit 64; fac pariter cubum numeri s multiplicando I per 3 per 3 , qui tubus erit ras, habebisque Proportionem 64 ad Ias, triplicatam proportionis q ad I, proportionem cu
60쪽
De quantitatibus per numeros exprimendis .
)Ux quantitates duas alias dicuntur exprimere , cum eamdem habent proportionem , quam illae . Mos autem est mathematicis, Physicisque , ut si quando sermo incidat sve de duabus viribus , sive de duobus temporibus, sive de duabus velocitatibus, sive de duabus quibuscumque aliis rebus, in qua S cadant plus minusve . quaeque quantitatem habeant ,& propo itionem aliquam, mos, inquam, est math maticis, physicisque, ut eas statim sive numeris, sive lineis exprimant . 'Atque id sane commodissimum est ; quaecumqueen rna de exprimentibus sive numeris, sive lineis propter proportionem dicuntur, ea pariter de quantitatibus expressis dici possunt ; sed multo facilius sive in numeris , sive in lineis cognoscuntur. Qitamquam numeri in hoc maxime dominantur, se quidem ut ad lineas ipsas , figurasque exprimendas plerumque accipi soleant. Et linearum quidem exprimendarum ratio facilis est; nam si s ni ver. gr. duae lineae , altera trium pedum , altera duorum , nemo non videt duas hasce lineas duobus numeris exprimi 3, & a. Quod si aliae duae fuerint, unae . quinque cubitorum, altera septem, facile exprime tur numeris I, sic T. . Et .