장음표시 사용
61쪽
Ac DE THE REM. GEOM. 3IEt superficies duae quidem simili modo exprimuntur , si mensura quaedam communis certo vicium numero repetita adaequet unam , & certo pariter vicium numero repetita adaequet alteram ; ut
si unam adaequent pedes quadrati ipsi quinque , alteram pedes quadrati ipsi septem; has enim utique expriment numeri 3, & I. Pes quadratus mensura est artificibus geometriae cognitissima. Quod si duo solida mensuram habuerint quamdam communem, facile apparet, ipsa quoque duobus numeris exprimi possie , quemadmodum de superficiebus, & lineis dictum est . Omnium enim ra
Sunt tamen lineae quaedam, & superficies, &solida , quibus mensura communis nulla est , quod geometrae ad veritatem ostenderunt ἰ quae quomodo per numeros exprimi possint , dicemus infra. Nunc de rectangulis, & linearum quadratis haec scire convenit .
Sint duo rectangula A B, P R, Rig. I 6 Jquorum unum latera habeat AC, CB angulum facientia in C, alterum habeat latera P Q , facientia angulum in Q . Si latera AC, P exprimantur duobus numeris puta A C numero 3, & Pwnumero a ; iteminque latera C B , Q R exprimantur duobus numeris , puta C B num cro 3, Q R numero Α, ac multipliceisti r numerus 3 , qui exprimit A C , per numerum siqui exprimit C B, fiatque productum rue; & similiter multiplicetur numerus et, qui exprimit PQ, per
62쪽
numerum Α, qui exprimit Q R, & sat productum 8; haec duo producta II , & 8 expriment rectanguinta Α Β , P R . Id autem perinde fit, ut si sumerentur proportiones duae , una 3 ad 2 qui numeri respondent lateribus Α C , P altera 3 ad 4 qui numeri resepondent lateribus C B, Q R atque ex his duabus
proportionibus fieret composita , quae sine esset illa ipsa , quam supra notavimus, Is ad 8. Atque hanc ob causam bina quaeque rectangula A B , P R proportionem inter se habere dicuntur compositam laterum , id est eam proportionem , quae componitur ex proportione unius lateris A C ad unum PQ , & alterius C B ad alterum Q R . Quod si fuerint duae lineae C H , Ι F, earumque
duobus numeris exprimantur, puta C H numero 3 ,& I F numero a ; quadrata ipsa numerorum 9 , &4 expriment quadrata linearum PH, Q F. Atque id quidem perinde fit, ut si proportio eadem 3 ad a semel atque iterum poneretur 3 ad a, 3 ada; tum fieret proportio composita, quae sane illa ipsa esset, quam supra notavimus 9 ad 4 , essetque duinplicata proportionis 3 ad 2 . Eamque ob causam dici solet, quadrata habere inter se proportionem duplicatam laterum . Quo apparet , proportionem duplicatam linea. rum eamdem esse ac Proportionem quadratorum ,
quae fiunt ex lineis, sicuti proportio duplicata nu
63쪽
merorum eadem est, ac Preportio quadratorum, quae fiunt ex numeris.
Erunt alia quaedam horum similia & de prismatis, & de cubis dicenda. Sed de his ubi de solidis. C A P. U.
SUnt lineae quaedam , & superficies, & solida ,
quae mensuram communem nullam habent, ideoque in commensurabilia dicuntur. Id est notissimum in cuiusvis quadrati latere, & diagonali; quamcumquae nim mensuram acceperis, quae quoties libuerit rein petita adaequet latus, ea nunquam diagonalem adaequabit . Atque haec quidem , quae mensura carent com muni, non videntur numeris exprimi posse, ad eum modum , quem supra docuimus, idque verissimum est, si numeros cum dicimus, illos tantum intelligimus naturales, atque obvios I, 2, 3, 6, 3, 6. Verum reconditiores alios numeros sibi fingunt mathematici, sive possibiles ii sint, sive impossibiles, etiaque cum ad alia utuntur, tum vero maxime ad exis primenda incommensurabilia; qui numeri quales sint, ne omnino ignoretur, paucis exponam . Sunt ergo numeri quidam fortasse impossibiles,
quos tamen cognoscimus, si possibiles essent . habi
64쪽
turos esse certas proprietates. Ver. gr. radix numeri 1 o fortasse est ina possibilis ς & sane in naturalibus muneris, quos quidem novimus I, 2. q. I, 6, nullus est , qui per se ipsum ni ultiplicatus emciatio , ideoque radix numeri Io, dici possit; tamen constat radicem numeri Io , si qua est , debere esse maiorem numero & minc rem numero q. Constat etiam de aliis eiusdem radicis proprietatibus. Eoque processit ratiocinantium industria , ut iam radices huiusmodi. sve esse possint , sive non ponsint, tamen propter cognit: ssi a S earum proprietates, & in summam colligi. & aliae aliis detrahi,& multiplicari per alios numeros, aliasque radices,& dividi possint, pei inde ut communes numeri. Facver. gr. radicem numeri 2 , & radicem numeri 3 esse, si ita vis , impossibiles ; hoc tamen assirmare possiim si essent pcssibiles, atque altera per alteram multiplicaretur, productum , qHod fieret, esset procul dubio radix numeri 6. Idqile est Arithmeticis perspectissimum . Fo facti im est ut mathematici has ctiam radices in numeris habeant , ac numeros propterea Omnes in duo genera dividant, in rationales, iique sunt communes illi , atque obvii I , a, 3 , Α, &c.& irrationales, quos etiam surdos vocant, iique sunt radices, quas diximus , quaeque inveniri non possunt, uti radix numeri 2, radix numeri 3, radix numeri s , radix numeri 6, radix numeri I, & infinitae aliae.
65쪽
Ut ergo quae sunt in commensurabilia rationalibus numeris exprimi nequeant; irrationalibus certe,s .e surdis exprimi semper possunt . Et sane conis stat , in quadrato quovis latus & diagonalem ex pri. mi per i , & radicem numeri 2 . Nempe latus ad diagonalem proportionem illam ipsam habet, quam haberet numerus I ad radicem numeri a , si qua enset huius numeri radix .
De iis, quae in plano accidunt e proportionum doctrina. CAP. I. De Iguris rectilineis similibus . FIturae rei illineae similes illae sunt quae angulos
habent numero pares, singulos aequales singulis, ac latera circa aequales angulos deinceps proportiona
puto ita esse consormatas , ut cum illa quatuor angulos habeat Α , B , C , D , haec pariter quatuor habeat E, F, G, Η ; sitque angulus A aequalis angulo E , angulus B angulo F, angulus C an ulo G, angulus D angulo FI ; ac praeterea sic se habeat D A ad A B, ut II E ad E F, idest quam proportionem habet
66쪽
habet D A ad AB, eamdem habeat Η Ε ad F F;& deinceps se se habeat A B ad B C, ut E F ad FG; & BC ad CD, ut FG ad GH,& CD ad D A , ut G H ad Η Ε . His omnibus pcstis erunt figurae ABCD, EFGH similes.
Demonstratum est, figuras rectilineas similes habere proportionem inter se duplicatam laterum h mologorum , sive proportionem eam , quam habent laterum homologorum quadrata . Quare cum in propositis figuris ABCD, EFGH ob proportionalitatem laterum A B, BC, EF, FG, latera B C, F G snt homologa, si inveneris proportionem, quam habent quadrata linearum BC, FG, inventam habebis proportionem, quam inter se habent figurae similes ABCD, EFGH. V. g. linea B C eam habeat proportionem ad lineam F G , quam habet 3 ad 2 , ideoque his numeris lineae ipsae exprimantur; quoniam ipsarum quam drata exprimentur numeris 9 & q, compertum erit,
figuras smiles ABCD, EFGH ipsas quoque ii Ddem numeris 9 & 4 exprimi posse; ideoque eam ense proportionem figurae ΛBCD ad sauiam E F G Η,
67쪽
vis A C B constitutus in centro ipsi C , cuius an
Si lineam duxeris rectam A B , haec recta praeterquam quod dicitur chorda circuli sic enim ainpellatur linea quaevis recta utrinque in peripheria circuli terminat ab dicitur etiam chorda, sive subtensa anguli A C B . iod si a puncto A duxeris rectam A S , quae secet rectam C B in S , & cum ipsa angulum T ctum sociat, linea ipsa Α S dicetur sinus rectus, sivesnus primus anguli Α C B, linea vero S C, ejusdem
anguli sinus secundus . Q iam vis ex his lineis duarum quarumlibet proportio sumi possit ad metiendum, seu potius ad deinterminandum angulum ; nihil cntinus usus tenet ut proportio , quam habet sinus primus ad sinum secumdum, ad id adhibeatur. Et sane constituto certo angulo A C B, constituti quoque erunt sinus duo AS, SC, eorumque proportio, iique , & ipsorum proportio mutabuntur,s angulus ACB vel tantillum mutetur. QuapropteC
68쪽
si cognoscatur proportio , quam habet sinus primus cuiusvis anguli ad sinum secundum , angulus ipse quoque pro cognito habebitur. Neque ad determinandum angulum, & sin eius constituendos , quidquam refert. utrum circulus sit major, an minor; namque eidem angulo in quovis circulo eadem semper sinuum proportio respondebit . Demonstratum est, duos quosque circulos A B, C D Fig. ao. proportionem inter se habere duinplicatam diametiolum AB, CD, sive , quod eodem recidit, eam habere inter se proportionem , quam habent diametrorum A B, C D quadrata. Quare si proportionem cognoveris , quam habent qnadrata haec illam etiam habebis cognitam , quam habent circuli. Exprimantur v. g. diametri AB, CD duobus numeris 3 & a , diametrorum sane quadrata exprimentur numeris a I. & q; igitur proportio circuli A B ad circulum C D eadem erit, quae a 3 ad 4.
Sit circulus quivis A P D Fig. ai. cuius diameter A D. Si a purcto quovis peripheriae P duca tur recta P M , quae secet diametrum AD in M , sitque ipsi perpendicularis , recta P M dicetur circuli ordinata ; lineae M A, M D dicentur segmenta diametri , sive axis, nam diameter etiam axis dic
Demonstratum est . ordinatam P M esse mediam proportionalem inter segmenta diametri M A M D,