장음표시 사용
111쪽
fitemus maximam communem mensuram numeratoris, ct denominatoris hac ratione. Diuiso den minatore 9 6. per numeratorem 6o. supersunt in diuisione 3 6. Diuiso rursus diuisore 6o. per res duum 3 6. remanent in diuisione 1 . Item diu hoc ultimo diuisore 3 6. per ultimum residuum . ' ΣΑ. relinquuntur Ia. diuiso denique ultimo Mediuisore 2 . per intimum residuum 1a. nihils
pereri. Est i itur maxima mensura commulnιs I 2. per quam si diuidatur tam nu erator, quam do' . nominator data . minutia - - - . tonstituetur bae
minutia -P. minimis numeris expressa. SED si proponatur haec minutia sed --.uo Irnuenietur νlla communis mensura numeratoris, o denominatoris maior, quam νnitas. Nar, d nomiuatore r o 3 . diuiso per numeratorem 8.-ti persunt 7. Diuiso item divisore 48. per residuum . . 7.relinquuntur 6. Denique diuiso ultimo hoe diuii sore 7.per ultimum residuum 6. superest I. uua- re,ut supra dictum est,numerator, σ denominator minutis baius punt numeri interse. . primi. nnexio m E AD EM ratione quorumlibet duorum Uzi; linia merorum clicet fractionem non constituant ,sed Mesesese absolute proponantur. maximam commune men suram inueniemra, si maiorem per minorem diuia
damus, ct hunc diuisorem per residuum diuisii nis, si quod erit , ct rursus hunc vltimum diuisorem per residuam ultim diuisionis, O sic δε- inceps, cte. Na νθιmus diuisor nihil relinquens in diuisione erit maxima communis mensura do
112쪽
rorum numerorum e Si vero in diuisione aliqua fuerit relicta unitas, erunt numeri dati inter se primi, nullam , habebunt mensuram co munem,
m zmam mensu ram communem duorum num II rorum ex propos r. lib. . Eucl. Nam licet Eucli- di maxim, ces iubeat semper minorem numerum de malore duoru nu-
subtrahere, tamen idem risicitur, O quidp muti. ς Qxv to breuius,per diuisonem maioris numeri per minorem, cum diuisiost compendiosa quaedam subtractio, quemadmodum o multiplicatio compendiosa quaedam additio est. AL Io modo reducetur minutia proposita dii .et'
ad minimos terminos , si tam numerator, quam rin minuti denominator per communem aliquam eorum mempuram horam, etiamsi maxima non sit,diuidatur, nox. ut inueniatur minutia sub minoribus numerisἰEt . i, rursus huius inuentae minuria tam numerator , quam de Uinator per aliam commuinem eorum
mensuram diuidatur; ct sic deinceps, donec munutia inueniatur,cuius numerator, ct denominator sint numeri inter se primi. Ut proposita minuria hac P. si Herque eius numerus diuid tur per a. inuenietur haec minutia cuius teri, numerus se diuidatur per 3. reperietur bae minutia q-. cuius tandem numeri diuis per 2.offerent hanc minutiam e . Jub minimis terminis e
113쪽
merorum ad eandem denominationem , & ad integra , necnon integrorum ad fractionem quamcunque,ac denique fracti num fractorum numerorum ad simplices fractiones. Cap. X.
ctiones diuersiorum denominatorum ad alio,
qua illis squales sint, singulae singulis, habeant s
eundem denominatorem. Quod qua ratione fieri debeat, hoc cap.exponemus, primum quide, qua doproposita minutia non sunt plures,quam duae, deinde Nero, quando plures sunt. Quo pacto P ROP O SIT I S igitur duabus minutiis tirua Ein diuersos denominatores habentibus,si denomin
M denomi. tores interse multiplicentur , procreabitur com dueauiui munis denamrnator, ad quem datae minutiae sunt reuocandae e numerator νero cuiusiber in crucem per denominatorem alterius multiplicatus producet numeratorem. Ut in hic apposito exemplo. Ex deno minatore H- . reducuntur ad τυ. . in denominatorem . fit denominator communis I 2. Item 2. numeratore prioris minutis in q.denominatorem posterioris sit numerator 8. At ex s. n meratore posterioris minutiae in 3. denomin torem prioris fit numcrator 9. Dua ergo min tia θ. p. ad bra duas reducuntur,
114쪽
denominatore coena I 2. Quod enim F-.aequiuais,leant Ῥ-.constat ex propos I .ct IS .ub. . Eucl. propterea φ uterq; numerus huius multiplicat iper eunde numera A. vel multiplicas eunde numera . nimiru denominatore posterioris minutiae l-i postis produxit νtraque numeru illiva. Hinc emsit, numeratorε er denominatore minutia - . eandem habere proportionem, quam habent u merator , ct denominator minutia H-. Quare a quales erunt minutia ipsae, ut supra dirimu . Ea dem ratione aequales erunt minutiae π8-. θ - . . uterque numerus huius multiplicatus per eundem numerum 3 .vel multiplicans eundem numerum s .denominator videlicet prioris minutia data, produxit utrumque numerum illius. SI Hro plures minutia, quam duae, ad eam. dem denominationem proponantur reducendae querendus est primxm numerus ab omnibus denotminatoribus datarum minutiarum numeratus M. ut omnes partes ab ipsis denominatas contineat. . Ita autem numerum 2 denominatoribus propos iis , vel a quibiscunque numeris datis numeratu inveniemus. Multiplicentur omnes denominat Inuenti Iores interse, ducendo primum infecundum, σhuc oumeunqinumerum productum in tertium, productumque numqhunc numerum in quartum, sic deinceps , δε- rati. nec omnes simi multiplicati. Productus enim ritimus numirus erit is, qui quaeritur. Ut propo
tis hisce minutijs se primus denomia
nator 1. in secundum 3. multiplicetur, ct productus numerus 6. in tertium A. ducatur, produ-
115쪽
ctusque numerus aq.in quartu s. multiplicetur, procreabitur numerus I 2o. quem dati denominaeores,nempe numeri 2.3. q. . numerant. QV O N IM M vero numerus hac ratione inuentus interdat ita magnus es, ut eo minor da
ri posset, qui ab eisdem propositis denominatoriabus numeretur, reperiemus minimu numerum agnaenilo quotcunque numeris numeratu hoc modo. Primu ninimi inueniemus minimum numeru ὰ prioribus duobus quoteunq; numeris propositis numeratum.hac ratione. Aut Π ς ε miores duo numeri habent communem aliquam
mensuram , praeter νmtatem, aut non : Quod
quidem cognosces, se maior per minorem diuid tur, ct hic diuisor per residuum diuisionis, Osc deinceps; alterna quadam diuisione. Si enim. diuisor occurrat, qui nihil relinquat , habebunt' duo illi numeri communem mensuram, ineque di. Visor vltimus erit maxima eorum mensura: si vero oceurrat diuisor, qui relinquat νmtatem, caserebunt communi mensura, eruntque primi inter se, πt supra cap. 9. docuimus. 9 Si duo illi numeri priores non habent commune mensuram , erit numerus ex multiplicatione unius in alas rum productus, minimus ab illis numeratus, ita' ut minor dari non possit : Si vero habent memsuram communem, inuenta maxima earum men sura communi, per ea , qua cap. 9.scripsimus , diuidatur uterque per eam, ponanturque suo'
tientes sub ipsis numeris . , am si auotientem
prioris numeri per poneriorem numerum multi
116쪽
priorem numerum, procreabis minimum num rum 2 duobus illis numeratam . Deinde eodem modo indagabimus minimum numerum numera tum ab eo , quem hactenus inuenimuς, ct a tertio numero proposito, inquirendo videlicet, num tertius numerus propositus , O minimus ille a prioribus duobus numeratus, habeant mensura commune, necne, oec. Hic enim minimus inue tus, erit minimus d primis tribus numeris propositis numerarus .. Rursus inventum hunc nurum cum quarto numero proposito conferemus, eodemque modo minimum numerum ab illis numeratum inuestigabimus. Hic enim inuentus , erit minimus is quatuor datis numeris numer tus et atque ita progrediar, donec nullus numerus supersi, cum quo inventus ultimo loco compara
ri post. Demonstratio huius regulae colligitur propos 36. 3 8. lib. 7. Eucl.
S. E D explicemus negotiam hoc in prox, mis quatuor minutijs datis, quarum denomina tores sunt r. 3. q. s. Primu itaque quia duo prio res numeri 2. 3 .non habent alia menstura commune,prster νnitatKerit numerus s. ex eoru multiplicationeproductus,minimus 2 3. nu Gratus.Deinde,quonia inuentus hic numerus 6. tertius numerus datus q.habet maxima mensura et .diuidemus per eata 6. quam ' Α- Fotientesq; 3.cta. sub ipsisstutus S'. 'mus,ut hic vides. Si namq multiplicemus 6.p a. aut d .p3 creabimus numera Q. ρ minimus est, . tribus primis datis numeris 2.3.A. numeratu.
117쪽
Tandem, quia hic numerus I a. inuentus, ct quaei tus numerus datus s. non habent commune me .suram, prater νnitate, multiplicabimus Iz.per. 1.producemusque numerum 6o. minimum 2 quatuor denominatoribus a. 3. q. s. numeratum. Sit rursum inueniendus minimus numerus a 4. 6. 8.12. . numeratus. Primum,quia primi duo oe. 6. habent communem maximam men .
sura a . partiemur per ea tam 4. quam η. s. - 6. quotientesque 2. 3 .sub ipsis BG a. 3. tuemus, νt hic νides. lam si multipli-
Aemus A. per 3. el 6.pera. oeciemus nuiserum. 12.minimum ab illis duobus 4. 9 6.numeratu . Deinde, quia numerus hic 12. inuentus, ct te tius numerus datuT 8. habent maximam mensura. commune q. diuidemus per eam tam 12.quim 8. quotietes 3. a. sub x1. g. ipsis collocabimus. Si enim multipli- a. aemus tr. per a. Nes 8. per 3. go .mus numerum 2 . minimum 2 primis tribus da-.tis numeris q. 6.8. numeratum. Rus , quonia hic numerus inuentus 2 .ct quartis propositus I 2. commune maximam mensiuram ir in uidemus per ea tam 24. quam I 2. quotientes 2. I.ponemra sub et q. I Gipsis . si multiplicem et q. R.
per i .Nel I 2.per 2.producemus nu--erum 24.minimum a quatuor numeris datis A. .6.8. I 2.numeratum. Ponremo, quia hic nummrus Σ . inuentu , ct νltimus numerus datin
. non habent ullum mensuram communem, praeter
118쪽
. vnἱtatem; multiplicabimus illos inter se, procrea- bimusq; numeram I 68. minimum 2 datis numeris .cl. 6.8. I 2. T. numeratum. suod si quiis perpriorem regulam numerum inquireret ab eisdem datis numeris A. 6.8.12. 7. numeratum, mΨltipli- nimirum ipsos inter se, reperiret hunc numerum is i 28. qui multo maior et i, quam hic numerus minim, I 68. d nobis laventus. IH M vero,inuento numero ab omnibus δε- nominatoribus minutiarum reducendarum nume nuxiae , rato, siue is minimus sit, siue non, reducemus mi dIdhnominutio datas ad eandem denominationem hoc mο n xione το . Denominator comunis est numerin ille iuueu βμ 'μ μ tua: quem si per cuislibet minutiae denominatorem diuidamus, ct quotientem per numerato-- rem multiplicem , producemua numerator m, quisupra communem denominatorem seribendus' est. Ut in postremis quatuor minutiis H; . numerra a denominatoribuου numeratus ess o. Hic ergo erit denominator communis. Dues diui damus per Σ. deno linatorem prima minutiae ,σciemus G. Hunc numeru si multiplic mus per I .nu erratorem eiusdem minutis, producemus G. numeratorem pro prima minutia. Rursus si eundem numeram reto. partiamur per 3. nominatorem secundς minutis, prodibit hic numerua qo. quem si multiplicemra per 2.numeratorim eiusdem minutiae, Ociemra 8o. numeratorerm pro secunda minutia. atque ita de caeteris. Itaque Dis quatuor minutis reducentur ad has quathor eiusde denominationis - -
119쪽
g -. Qiwd s accipiamus numera qui minimus est ab eisdem denominatoribus numeratus, pro denominatore, reducemus easdem mi nutias ad has
Alla ratio E A D E M ratione redigi poserunt Da etiativa, utinis minuitis ad eandem denominatione. licet eas non Nas ad ean in crucem multiplicemus. qinratur nu-vauonem. Verus pue Amnimus, pue non minimus,a deno natoribus numeratus, erit is commis denomina tor: ex quo munientur numerareres, Ni proxume docuimus. Ut propositis duabus minμrjana . Minimus numerus a denominatoribus numeratus est i et . quem si partiamur per 6. deno natorem prioris minutiae, quotientemque 2. per . numeratorem eiusdem minutia multiplicemlis, esciemus i o. pro numeratore prioris minuti . Et si rursum eundem numeru 11. diuidamus pσI2. denominatorem posterioris minutiae , ct quo'tientem i. multiplicemus per T. numeratorem eiusdem minutia , reperiemus 7. pro numersito' reposterioris minutiae. Itaque data duae minutia reducenttir ad has --. - . Quod si quis easdem velit reducere per primam regulam, inuemet has minutias Ex quibus omniti Ihua' bus perspicuum est, quantum intersit inter mini- meri a de' numerum 2 denominatoribus dataram mini.'
tib. datam tιarum numeratum,. non minamum. Per numinux' in nimum enim datae minutiae ad minimas minutio
eiusdem denominationis reducuntkr, quod per AElias regulas non sit. aliquandoJ-era rore a
120쪽
forem minutia ex additione, multiplicatione , diuisioneque producta maiorem esse denominato re , atque adeo minutiam illam totum ipsum, alaque integrum superare. auare ea ad integra erit reducenda hac ratione : Diuidatur numerator tia . eui uaper deno natorem. Quotiens enim dabit inte- DRI: μὴ gra , quibus minutia datasquivalet e Et si quid denomina
in diui ne superfuerit, illud erit numerator, ζ' μ' ii
cui idem denominator subscribendus est. Ut haec satur. . e minutia . si numerator diuidatur per denominatorem , reducetur ad s. integra. Hac autem minutia - - . redigetur ad .
quia in diuisione numeratoris per denominato rem remanserunt 2. atque ita minutia illa conti- . net Iq. integrat insuper duas septimu partes ius integri. ITEM non raro usu venit, ut integra ad Quo p di- Fractionem aliqua reducenda sint. quod hoc mο minu tiam do fiet . Multiplicentur integra proposita per xinvς in denominatorem minutiae, ad quam integra reducenda sunt . Productus enim numerus erit numerator , cui denominator datae minutia est sub
scribendus. Vt si 7. integra ad quinto partes' sent redigendas Multiplicabimus 7. integra pest
. denominatorem propositae minutia , producto- .venumero qs. supponemus eundem denomina- 'torem, νt fiat minatia --F. aequivalens p. imtegris . .li integris adhaereat minutia ali