장음표시 사용
131쪽
ixis DIVISIO gra cum fractione multiplicentur, semper protracetur maior numerus Vtroque nlimem multiplicante, propter nkmerum integrum multiplicante integra. Ut ex multiplicatione 4 per 3 . fit numerus-- . hoc eIt, IJ .quia numerus q.tersa
plus facit Ia .ct quarta eius pars es I. vel quia numerus 3. sumptus quater facit D. minutia -. sumpta quater facit ρ.idem i.
merorum. Cap. XIIII. niuisio mi IACILITATIS g um Diuisionis r nuxi rum II nula ad regulam multiplicationis reduci po'μ' 'g' ierithoe modo. ramutentur tertini diuisom, ides, numerator scribatur infra lineolam, denominator supra eandem. suo facto,si regula multiplicationis cap. praecedenti tradita seruetur, id est, si ta numeratores, quam denominatores inter se multiplicentur,producetur numerus Quotiens.
Dis diuidenda sit minutia θ. perstabit exemplum, Ni hic Nides. - . -P. Multiplicatis igitur tam numeratoribus, quam denominatoriburinterse, produc tur minutia haec hoc est, numerus 3 . pro auο- tiente. Sic etiam si diuidenda sit minutia --.per-. stabit exemplum, νt - . 'IN hic apparet.Quotiens aut e fritψ--.osi adsunt N DO numerus integer per minuti integx ,ἀ4 vel per numeru integrum cum fractione diuidem
132쪽
per numeru integru cmn fractione vel denis, numerus integer ca fractione per minutiam ,aut per numerum intorum,aut per nomeru integrum cafractione, supponenda es unitas nxmero integro,s ei non adhaereat minutia, si vero minutia ei ad lucta sit,re cedus es numerus integer ad min tia adiuncta ut fiat una minutia, quemadmoducap.ρ cedente diximus. Deinde regula ia priscripta seruanda . Ut insequentibus diuisionibusη bunt ex la, una chm Quo ieribus, ut hic vides.
tiam. Numerator milautia diuideo sposita unitatςDb integris,si adsint, et redhctis integris ad vii 'f'S ' 'nutia adherente, si qua adhaereat multiplicetarper denominatore minutiae diuidetis; lcreabitur enim bac ratione numerator Quotientis minutie. . '. H 3 De ο-
133쪽
t enominator aute producetur ex multiplicatιδ ne denominatoris minutiae diuidendae per numera, torem diuidentis minutiae. Quod quidem idem est, ac se termini diuisoris commutentur, ct regula multiplicationis seruetur,ut perspicuu est. Quo mam vero ambigere qui pia posset aliquando, aunumerator minutiae diuidendae, n vero diuidentis producat numeratore minutia suotientis . facile enim vc res ex animo excidere potest magis mihi placet prior regula a nobis tradita, qua diuisionis regula ad regulam multiplicationis ro
nutiarum. tιρlιcationem. Nam si quotiens minutia multiplicetur per minutiam diuidentem, producetur minutia diuisa necessario. Ut ia ex diuisione - per producitKr minutia hoc est , 1τ. fit sνt ex multiplicatione I - . per producatur minutia diuisa Producitur autem ex hac multἱplicatione minutia in . quae huic aequalis se, ut patet. 9Cur aliqn OVO D autem iu diuisione minutiarum ple
minuitatu rutique proru atur Quotiens maior minutia diuiti, b hi Vt in diμ's Noe m . per . pate , in qua Qu minuita di lieos es hoc est, s .mirari nemo dabet. Naui uu cum numerus Quotiens indicet, quoties diuisor in diuidendo numero contineatur , manifessu est, quando minutia diuidens minor es minutia diuidenda illam in hac upius quam semel contineri atque adeo Quotientem maiorem esse quam I.
timsi minutia diuideta minorsit, quam 1 .veluti in prin
134쪽
εnproimo exemplo, quoniam minutia diuidens q-. minutia diuidenda b continetur ter, H, H Quotiens sit 3. indicans illam in hac ter contineri. Idem etiam ex definiitione Diuisionis perspi- 3. cue apparet. Cum enim diuisio sit inuentio mιme- ri, qui toties unitistem contineat, quoties num rus diuidendus diuisorem continet, Ni cap. S. csi almus:perspicuum est in proxima diuisone suotientem debere esse; . qui unitatem ter contineat, quoties nimirum minutia dividenda .minutiam diuidente continet. Mirum ergo non est, iudiuisione minutiarum semper produci suotiente an minmaiorem numero diuidendo, tu diuisor minor est, I.'quam minutia diuidenda, ut in diuidendo Vmplo patuit . idemque in diuisione 6. per)φ μμ kjε apparet, νbi Quotiens est Q. Nam minutia diuidens duodecies in numero diuidendo 6. conti QVA ND O tamen diuisior maior est, quam I. vel minor qiam minutia diuidenda, Quotiens semper minor erit numero diuidendo, propterea quod tunc diuisor cum maior existat, quam Nnitas.) non toties possit contineri in numero diui dendo , quoties unitis continetur . ut diuisis . . per q- . Quotiens est . Item diuisis 6 . per i l. Quoties est φθ. id est , 3- . Diuisis rur1us Ioo- .p Iod . OmliA G- hoc est 9 l9d ψ.-etimn se dividantur 3 -. pcr Quotiens hoc est, χ-τ.νbi istes, Quotient m semper minorem esse numero diu o. P
tiens in minuetja minor sit diaui dedo nu
135쪽
SO LE' T Arithmetici nonnulli uti opera
tione quadam minutiarum, quam insitionem vocat. Hi autem insitio minutiarum nihil aliud, quam propositis duabus, aut pluribus minurijs , euaram quaelibet sit fractio vel unius duntaxat particulae omniu sequentium, νel fractio intcgr rum omnium fractionum sequentium, additio huiusmodi fractionum ad ultima minutia, respectu cuius omnes illae stactiones fractionum sumantvir: ita ut quodammodo praecedentes fractionessequutibus inserantur. Unde nomen insitionis obtinuit operatio haec minutiarum: quemadmota in exem plus patebit. Ut propositis hisce duabus minutiis V. - . ita ut prior si fractio vel unius ta tum particulae posterioris,vel fractio totius posterioris,hoc est, ita vi prior contineat vel duas partes tertio unius quarta partis, vel duas tertiaStrium quartarum:operatio, qua -. Vnius quartae, vel trium quartaram , ad adduntur, appellatur insitio. Eodem modo propositis quatuor hisce minutijs - - . - -. - . ita ut quaelibet sit fractio vel unitis particulae omnia sequentiu , Nel fractio totarum omnium sequentium, boc est, ita ut vel prima contineat duas tertio Nnius quas ta Vnius quinta unius septimae, O secunda signi iret tres Partas unius qhintae unius septimae, tertia comprehctat duas quintas virius septims; vel prima contineat duas tertias triam quartam dua-
136쪽
duarum quintarum quatuor septimaru, O secumda comprehendat tres quartas duarum quintam quatuor septima um, O tertia significet duas quintas quatuor septimarumetoperatio, qua omnes hae fructiones stactionum, nimiram uniusquaris olus quinta unius septima, unius quinta νnius septimae, l. vniasseptimae; vel λ- -. trium quartartim duarum quintarum quatuor septimarum, ρο α . duarum quintarum quatuor septimarum , ct - .quatucrntimarhin, ad WPadduntur intio dicitur. sic de aliis. ' EST ergo insitio duplex:νna,quando Psii'bet minutiae Isractio unitu dantaxat particu- . alae omnium sequentiu minutiarum; altera, quando quaelibet minutia es fractio int grarum omnium minutiarum sequentium, H in Gemplis patuit. Arithmetici omnes de prima fota in itione locuti sunt, sta prorsus facta mentione insitionissecundae eam fortassis ob causam, quod prima utilis sit is a
ad diuidendum quemcunque m ersi integru,νnd si xa sis.cumfractione aliqua per numeris integru, vi paulo post dicemus. Quonia vero fecunda .inserio egregium quoque Uum habet in progressionibus Geometricis,Nt, Deo iuuate, in maiore nostro Arit, metices opere declarabimus; utriusque insitionis
MAG N VM aute discrime est inter insitio- Differenti ncm , ct operatione illa,qua cap. 9 minutio minutiarum ad simplicem minutiam re cere docui ductionei mus. Ibi enim propositis ν.g. duabin hisce minu
137쪽
inquirebamus,quamnam minutiam simplicem emnituerent duae tertia trium quartaru, inuenieba- constituere id eri, θ. νnius integri; hic vero indagabimius, quaena minutia efficiatur, se addantur - . Mius quartae , vel - . tria quam tarum ad escieturque priori modo minutia haec, ----. posteriori vero haec, hoc est. quarum utraque longe abestὰ --. Eodem modo discrimen apparebit, si fuerint plures minutiae ,
quam duae. Pilma regu I TA QV E se proponantur duae minutiae , quarum prior sit fractio unius tantum particula minuitara posterioris, ita fiet insitio . Ponerioris minutia
numerator per denominatorem prioris multipli cetur,productos numero numerator eiusde prioris adisciatur. Hoc enim a regatum erit nume rator minutia producenda; denominator Nerogi . gnetur ex multiplicatione denominator u inter se.
. ut datis hisce minutijs - . ita fiet insitiosiue
u . additio - . Nnius quarta ad H, EX 3.numerat re posterioris minutia in 3. denominatorem pri risfiunt s. Addito numeratore r. eiusdem prioris minutia , fiunt M. pro numeratore minutis producendae. Denominator autem erit numerus Ιχ. ex multiplicatione denominatorum inter se productus:ita ut haec minutia et p. componaturo ex additione unius quarta ad:-. Quod facile probari poten ex regula additionis. Quoniam enim Nnius quartae, strandum reductione minutiarum minutiarumsuciunt si addantur τά . ad edent ρ ε . hoc est, ψ-π. priuSis
138쪽
ita it quaelibet sit fractio umus tantum particu- mi ae , dia omnium; quentium intio hoc modo fet. Mul- :''id , itiplicetur numerator vltima minutiae per denm mana teid minatorem penultima, productos numero addaia 'tur numerator eiusdem penultimae; Deinde hoc aggregatum multiplicetur per denominatore m, nutis antepenultimae productos numero addatur eiusdem numerator; Post haec aggregatu hoc mul' i licetur per denominatorem proximὰ antecedetis minutis, productos numero eiusdem numera
ior adjtiatur ε σὴc deinceps , si plures fuerint
minutis .ingregatum vitimum semper multiplied turpes denominatore praecedentis minutia, ei ademi numerasor producto adi hiatur, donec nulla minutia supersit. Postremu enim aggregatura .. erit numerator minutia producendar Denominain 1n tor autem producetur eae multiplicatione denomi natorum inter se, ut datis hisce minutus - . q. ita fiet ἱnsitio , hoc est, additio - . unius Σ, qaarts,νnius quinta, νnius septima, ct unius . . quinta, unius septimae , 9.- ι νnius septima ad vj, Ex η. numerratore νltima minutis in s denoψminatorem penultima sunt χo. Addito numera tore r.eiusdem penultima minutis, fiunt et r. quae multiplicata per η. denominatorem antepenultimae minutiae faciunt 8 8. Addito numeratore 3. eiusde minutiae auepenultimae, fiunt 91 .qua mutitiplicata per 3 . denominatorem antecedentis mi dnutis o prim faciunt 27 3 . Addito numeratorea eiusdem prima minutis , Ps proxime ante
139쪽
124 .': IN SI ΤΙ Ο cedit, fiunt 27s . pro numeratore minutia prodi
. cendae. Denominator autem erit numerus oro.
r. productus ex multiplicatione denominatorum i . . ter se, si nimirum primus per secundum restit li-eetur, O hic numerus productus per tertia, ct c. Itapex hac insitione orietur minutia υί- l . ad minimos terminos reducta faciet Ἀρος. Quod ex regula additionis probabitur hac rati ne . Quoniam - .h: . '. per regulam reductionis minutiarum minutiarum faciunt π -ω . : . q. faciunt - - . θ - . daciunt τ-.se tres ista minatiae Ῥ-- addantur ad p. sent um Φθ-bocen, in minimis terminis π. ut prius .sed multo facilius, ct citius hac summa inuenta in per
Minui es issitionem. nsetendae C ME TER VM in He regati insitionis nulgi '. Si tam invita reduceda es ad minimos terminos,am ω5 sum te tequam tota operatio absoluatur, quia sensus πι- is dies. riaretur, σ magnus fieret error:absoluta tammisista hἡό- ρος qtwης, re ci potes summa producta ad mi-ziubhi, ηἰmos terminos, vi a nobis factum est. Reduximus enim minutia hanc dea insitione productam ad istam et . Quod autem sensus varia retur, O error contingeret,si minutia aliqua ante fuem operationis ad terminos minimos reuocaretur, perspicuum est. Tham si inserendς sint hae minutia V. id est, addenda - . Mius duodecima ad feni At si posterior minis . ita es c. reuocarettir ad minimos terminos, nempe ad banc minutia - . deberet inseri id est, .
140쪽
.unius tertia ad i. qui sensus longe alius est, qprior. Fiet' propterea ex hac insitione alia minutia nimiru valde diuersa a priori minutia tr ducta P. Prior tamen minutia producta ψ-P. reduci potes ad hanc in minimis terminis q--.P R E TERE UN D VM etia no est,summa ex insitione hactenus exposita collecta, si ultima minutia minor est, quam unitas, semper minore esse unitate,etiasi infinitae minutis inferantur. Ut δε hae minutiae Infici istur, et mi' nulla l-q minor en,q νnito. Quod ita debere esse, hac ratione declarari poterit. Quoniam
πιγ. esciant unitate, de i -L. ct praecedes minutia Ἐ- . quae additur ad non est π-.sed unius quintae,fit ut ad complendam unitate destiadhuc --. nius quinis: at quia antecedes minutia . q additur, non est .unius quintae, sed - .
nius dimidis unius quintae, sit, ut ad explenda unitatem desit adhuc --. ius dimidij νnius quintae. Rursus quoniam praecedens minutia --.no es' ius dimidi' unius quinta, sicd -. ius tertiamrius dimidi, unius quinta,sit,ut ad coficiendam unitate desit adhuc..unius tertia unius dimidus mira quinta, sic deinceps splures fuerint minutiae,semper aliquid deerit ad mlarte coplenda. V T autem videas, quam praeciam usum ba . beat prima haec regula instionis in diuidendo numero integro vnὰ cu minutia per nnmeru integruadduca. νnu,vel alteris exemplum. Sint diuide a o .p ra. Diuisis integris zo. p i 1 fit Quotiens
suma Insntionis secadu prim regula semper minor est, si uni tas, & quas