장음표시 사용
121쪽
ut fiat unica minutia; Multiplicabimus 8.per 3.
denominatore adhaeretis minuti ac ni ero Pr ' ducto clo. addemus a. numeratore eiusde minutiae, ut habeamus numeratore q2. huius minuto Minullae AEAE . qua numero proposito 8- . aequivalet. quo pacto P O ST REMO, qualido in operatione ali' ad simpli- qua minutiae minutiarum occurrunt, reduceu tiae reuo. erunt ad simplicem minutiam, hoc artiscio. Mul
tiplica numeratores interse, hoc est, primum is fecundum, O hoc productum in tertium, atque iterum hoc productu in quartum, sic deinceps, seplares numeratores fuerint. Ultimus enim numerus productus dabit numeratorem simplicis
minutiae, quae illi minutiae minutiarum aequalis erit. Denominator autem erit numerus productur ex multiplicatione denominatoru inter si si mutat licentur, ut de numeratoribus dictum est. Ut haec minutia minutis- . . reducetur ad hanc simplicem fractionem ---. quia multiplicatio numeratorum facit ra. denominatorum autem 3 ita vi tres quinis quatuor septimarum partium ius integri contineant eiusdem inteDri. Sic etia bse minutia minutiarum c. I . '. reducetur ad hanc simplicem Vra a. quae ad minμmos numeros reducta faciet vi ex antec denti ca'. constat. Denique Me minutia minuti rust. φ. '. ad hanc plice revocabitur qus reducta ad minimos numeros faciet - .HOC autem ita esse, explicabimus hocm do. Ponamus hanc vltimam minutam minutiorum
122쪽
rum . : .esse desti ta ex uno aureo. Ne eesse est igitur, si regula pr cripta vera est, ea continere tres Iulios, qui . νnius aurei, tu quilibet Iulius sit aurei unius. Id quod quilibet facile perspiciet. Nam l. aurei
continent s. Iulios , duo Iuli sint q-. au radimus . -- . sex Iuliorum sunt . quatuor Iuliorum sunt 3. Iulii . Eadem ratione . hanc minutiam minutiarum N . : . l . recte ad hanc esse reuocatam , in hoc numero η . ostendemus. Nam q-. huius numeri κ.contineta unitates ex sesumantvr - . accipiemtur 6. unitates ex quibus denique se accipiatur ψ-. sumentur a. νnitates, que faciunt di cti numeri os . Non secus alia exempla explicari poterunt, probari.
natorem. addendi sunt numeratores , OH Duxi axum gregato idem denominator supponendus : Sι vero fiati diuersos habeant denominatores, reducends sunt -- - prius ad eundem denominatorem , ct tunc eodemodo additio instituenda. . Ut summa collecta ex histe tribus minutiis - . en hycquia habent eundem denominatorem, flummaque ex numeratoribus collecta est 11. quemadmodu- ex 2. aureis, . aureis 6. aureis fiunt a 2. aurei. Sic etia ex hisce minutiis 6. Y-a
colligitur ecsumma Ps uni integro squi
123쪽
et. Ita quoq; ex his minutiis , .ψ.ψ.φ .colantur haec summa --. qua reducta; ad integra fiscit At Uro vi se minutia γ. in πω summa colligantur, reduce lae prius t ad eunde denominatorem, nimiru ad bas minutias G. ex quibus in unam summa cossinis fune P. hoc est, In--. atque hac es summa Dara minutiaru propostaris,qucmadmota ex a .aureis O 3 .ialus, si et .aurei reducantur ad 2o. iulios , funt 1 . ivlij. Sic etiam minutiae M l . ψ T. V. τt m Nnamsummam colligantur, reum c lie pritu tas eiusdsm denominationes
is,hina plicandae eae mi in cruce, ct producti nureeri ad
imer se. dendi, vi fiat ni merator minutia producendae rDeinde denominatores inter se multiplicandi, is eiusde minutiae denominator habeatur: quia hac ratione reducuntur duae illae minutis ad eande donominatione ut ex praecedenti cap. tet, addunturque numeratores inter se. Ut se hae duae minutis sint addendae, multiplicabimus tam et . numfratcrcm prioris per . denominatorem poste
rioris, quam se meratore posterioris per 3 . det
124쪽
mminatore prioris, productosque numeros 8. θ'.in unam summa colligemus. , H fiat numerator I7. Deinde productum numera ex multiplicati ne denominator si interscinempe I 2.ratiemus dono natorem. Erit igitur minutia collecta ψ-. Quodsimi plures minutia addendae, quam duae, addemus primu priores duas, ut diximus. Dcim de minutia collectam cum tertia minutia eodem
modo:Et harae productam eu quarta, ct ita deinceps.Utsi addenda sint ba minut. - colligemus primu ex prioribus duabus hae Deinde ex hac, O tertia esciemus eode modo Denique ex hac, ct quarta procreabimus --. ,-.boc est a summa omnium.
PROBATIO aute additionis sit per sub- Probatio tractione . Subtracta enim altera minutiam ad- taeu adendaru exsumma collecta,remanebit altera ,si in additione erratum non e is. Quod splures siniaddendae minutiae, hubtracta νω earsi ex summa, relinquetur minutia alijs simul sumptis aequalis. Ut quoniam bae minutia se addita faciunt
id est, i si ex hac summa subtrafatur
prior minutia,nempe - .ut insequenti cap. doc bimus, remanebit haec minutia --ν 2.quae squa lis est alteri minutis - . ut patet, si ad minimos terminos reuocetur,vel numerathres per de nominatores in crucem multiplicentur. Produ- u. cetur enim ide numerus tam eae 8 o. in Ir. quam '' ex s. in I92. nempe numerus 9 G. Quare, Ni supra cap. 7. diximus . aquales sunt minutia
125쪽
SI duae minutia, quarai minor ex maiore subaducenda est, habeant eunde denominatorε .subtrahendws est numerator minutia subtrahe da ex nsimeratore alterius , ct residuo ide deno minator subscribendus. Si vero diuersos habeant denominatores, reducenda sunt prius ad eund denominatore, ct tunc eodem modo inktituenda subtractio . Ut si subtrahenda st haec minutia P . ex ista subtrahemus numerator m S. lex numeratore 8. residuo 3. eunde denomin xorem I . supponemra, Ni fiat minutia rsdo I . ππ. quem idmodusi s .aurei ex 8. aureis tollan tur,rer nent s. a rei. vero si deducenda'
haec minutia ex ista - . reduceda erunt prius ambae ad has st, . eiusde denominationis; Deinde numerator 18. ex numeratore et . deduocendus , residuoque 6. commis denominator 17.
supponendus, τι fiat minuria residua 'ci: admodu,si 1. Iuli, auferendi sint ex 8.aurcis,re, ducendi sunt prius 8.aurei ad 80. Iulios,ut relis quant τ78. Iulis. sin etis SI ab integris detrahenda est aliqua fractio adiunx, g4 peducenda est una unitas integroru adfractionεμῆ, μψ' et sim denominatoris ita ut ut minutia, cHi numerator aqualis sit denominatori; a qua dedueexata est minutia proposita. Ut s ex io. auferensta sit minutia faciemra ex νna Nnitate
126쪽
pR AC TORVM. Ira, , γρ . Integra enim carebunt ilia mutate , qua ad minutiam reducta est. S I vero ab integris detrabenda sint integra,er praeterea fractio aliqua, reducenda quoque essisa νnitra illorum integroru ad minutiam eiusdedenominationis: Deinde integra a reliquis integris, O fractio 2 fractione detrahenda. Ut si hic
numerin q- -. subducendus sit ex I o. faciem ex una unitate huius nu eri minutia hanc aqua se demantur- . relinquenthr- . si q. auferantur ea reliquM 9. supererunt s. Itaque tot numerra residuua erit J- .
DENI . E se ab integris una cum fractis detralenda simi integra cum fractu, vel fracti nes sola V si quidem fractio detrahenda minor est, quam illaba quasit subtractio, vel illi squalis, detrahenda est fractio 2 fractione, ct integra ab integris : si vero fractio subtrahenda maior est, δilla, a quot subtractio,reducenda est una unitata integrorλὰ quibra subtractio fieri debet, ad fra- .ctionem, quae illis adhaeret, oec. Ut se bic num
rus 6- . subducendus sit ex hoc Ic- - . quoniam minutia maior est, quam faciemus ex νυνnitate horum into rorum Io. hanc minutia quae cum .faciet π.d quasi auferatur minutia relinquetur minutia f. blatis quoque 6. ex .
p. supersunt 3. Totus ergo numerus remus est
GJ O D se quando una minutia a pluribus mi fuerit subtrahenda, vel plures ab una , vel plu- ti A' Prei 4 pluribar, danda erit opera, Nprius plures g*nsium illa
127쪽
1 1 SUB TR ACTIO illatam subtrahendae,quim illae,ὰ quibus fieri de
bet subtractio, in imam summam colligantur. Pi,klisub- I TA a V E ut at subtractio unius min trahedi mi m ct ali denominatores sunt diues, multu ζζζ: '' plicandisunt numeratores in cruce per denominatores, ct unu productu ab alterosubducenduae-Muoque supponendus numerus ex multiplicati
ne denominatoru inter se productus equia hac rotione duae minutia proposits reducuntur ad eam de denominatione, c. Ut si minutia ex mi nulla q-. subtrahenda sit, multiplicabimus 3.numeratore minutiae subtrabeno per 9. deno inatorem alterius, ct productu 2 7. detrahemus ex numero 2 8. producto ex multiplicatione 7. mera toris minutiae,a qua sit subtractio,per A. denominatorε alterius, ct reliqua νnitati supppou mua numeris 3 6.productu ex multiplicatione de-αominatora inter se,ut fiat minutia relicta ---. pi aiIO PROBATIO autesubtractionis fit per subtractio' additionF. Si namque minutia relicta adsubir et ista ' ctam minutia adiiciatur, coponetur minutu illa.
aqua subtractio facta est, si non est erratum . Ut
quonia subtracta minutia hac - . ex ina rolinquitur baec minutia -τ . vi in proximo exemplo patulis addatur ad coponetur haec
minutia τέ- . quae ad minimos terminos red
dia erit hyc l .. qua nimiru ficta es subtractio.
Sic etiam, quia subtracta hac minutia H-. ex ista .reliqua es minutia haec i. si ea addatur ad I set minutia qua aequalis est minutia l.
a qua subtractio Acta es t νς patet, si utraque
128쪽
ad minimos ter nos reuocetur . Semper enim reperietiir minutia hac vel certe, quia numeratores earum in crucem per denominatores multiplicati producunt eundem numerum, nimirum q32.
rum numerorum. Cap. XIII. SI numeratores inter sie multiplicentur, producetur numeratorsum inultiplicationis, ex denominatorum autem multiplicatione denominator eiusdem gignetur. Ut ex multiplicationes-. per . fecit ,-. hoc - . 'merato res enim inter se multiplicati faciuut 6. denomi
D O minutia per numerum integrumultiplicada est,supponenda est numero integro unitas, ut fiat ex ipso quasi ractio quaedam denominata ab νnitate integra . Deinde regula, qua proxime prsscripsimus, J. seruanda . Vt si multiplicanda sint 8. per Vincribemus I Jιb 8.ut in apposito exemplo vides. Igitur si multiplicentur inter se tam numeratores , quam denominatores, producetur haec minutia - . quae aequiuesct huic numero
u A N DO autem nu ero integro adb rei minutia, reducendus erit numeras integer ad
129쪽
faciemus ex minutia ε .ctnumero 8. supponemus r. νt hic Dctum espe vides. Si igitur ta nu meratores interse, quam denominatores multia plicentur, procreabitur haec minutia -- huic numero RO M.AEquivalens. Item si multiplicanda sent ἄπ'.per I .re o Hroducemus Α- . ad ut hic vides.Producetur autem ex multiplicatione minu- ria haec - . id est, 1- . Eoc pactos multipli,
' Ho exmplo vides. Multiplicatis autem tam numeratoribus inter se, quam denominatoribus,producetur bsc minutia -τ . hoc est, I q-- probatio EX MI T V Riaues multiplicatio multiplica per diuisione. Si enim minutia producta diuid nullatum tur altera minutiaru multiplicantium, prodibit necessario in quotiente altera minutia multiplicans. ut si ex multiplicatione ζ.per V. fiunt -- . necesse est, Ni diuisis V . per ' - produ- eantur diuisis aute eisde'πτ. per φ. Pgna tur Perspicuum autem erit ex sequenti cap.
ovis mula huic .aequivalet;diuisis autem eisdem ππ.pertiplicatio- .produci hoc est,V. tu produea NE MI I autemum videri debet multi- vx minψ' plicatione minutiarum producere semper minu- utraq mi. tia minore viraque minutia multiplicante, Ni in
'utiles vl mol la,quod in examine tradidimus, pa
130쪽
tet , ubi ex multiplicatione per q-. producta es minutia id est, quae minor est utraque minutia multiplicante. Si enim natura riplicationis recte cosideretur, facile quiuis perq1piciet, hoc necessario ita debere fieri. Cum enim
Nnus dumerus per altu multiplicari, seu duci dicatur, cum alter ipsoru toties augetur quoties ingltero continetur unitas,Υt cap. q. diximus,perspicuu est,neutra minutiara multiplicantium p se totam fumi in producto, sed stagmenta duntam at ipsius, qualia nimira fragmenta Nnitatis, allera minutia multiplicans refert, qnandoquide hac minutia minor es unitate. Hinc enim sit,ut que admodum minutia multiplicans non continet in-gra νnitate ; iti quoque numerus productua non contineat totam altera minutia multi'licantem, Ni in proximo exemplo, quemadmodu est dimidiata pars unitatis, ita etia numerus productus -- . id est, est pars dimidiata huiuU mimιφφα - . ut definitio multiplicationis postulat. R die ergo ex multiplicatione - -, per produci tur minutia hac hoc est,--. Sic etia ex mul iplicatione 9. per π-. producitur minutia haec H . id est,numerus hic s. 23 am quemadmoduo tertia pars νnitatis, ita numerus.f. tertia pars est numeri 9. vel quemadmodum numerus productus 3 continet π. novies, ita numerus 9. continet nouem unitates. Non est igitur mirum, qlior minor numerus producatur utraque minu