장음표시 사용
281쪽
Nt corona eiiciat 72.lib.aqua. Debebat auigeii cere tantum 6 1. lib. Excesmus ergo Neritate numero 7. Finge pecudo, aurificem surripuisse G. 70.3o.lib.auri,ac proin ' M. m 30 de in corona fuisse TO.
expellent 7o. lib.auri' Item, si Ioo. lib.arge 'tiei ciunt o. lib. aqus, quantum aqua ejcient 3 o. lib.argetisinuenissi in priori operatione 62. lib. aquae,in posteriori vero 17. quae esciunt cy. lib. aqua . Debebant autem erue totum 6 1. lib.
Rursus ergo excessimus veritatem numero q. Operare per regulam, inueniesque, aurificem a cepisse I 6--.lib. auri, atque adeo, coronam illam mittamfuisse ex 8 3-r. lib.auri, ex i6--. lib. argenti.suod ut probes,die. Si ico. lib.auri erinciunt 6o.lib. aqua, quantum aqua eiicient 83-c.
lib.auri' Item,si Ioo. lib.argenti ei, ciunt so.lia quae, quantum aqua ei, cient i 6- . lib. argenti stinuenies , in priori operatione so lib.aquae,in poseriori νero a s. lib. aqlta, quae conficiunt 61. libras aqua, quας posuimus coronam eiicere. EODEM modo deprehensumfuisset furtu, etiamsi massa auri, tr argenti nonfuissent Ioo. lib. quot libras habebat corona, sed quotcunq; librara, nempe auri Io. lib.Ῥ.g. argenti 2 o. data modo diligenter exploretur,quantum aqη sngu
282쪽
cere 6. lib.aquae,at 2 O. lib.argenti ejcere 18. lib. aquae. Vnde in priori positione dices . Silo. lib. aur.e ciunt 6. lib. aqua, quantum aqua cij cient .lib. auriὶ c. . S I ponatur corona sco. lib. O masse auri, gentis totidem lib. hac coditione, vi corona ej
na fuissς Is Q. Iib.auri, totide que argenti. vi patet in hisce O. duabus positi . rubus, in quarsi priore natu - tur Iooib.auri, ct ioo. lib. 'argenti: in postruriore au: Io I. lib. aur. I99. argenti, θα. -H O C ergo artificio deprehendetur in qua ex , argentoque commixta , qMantum auri, quantumque argenti permiatum
283쪽
ROGRE S SIO rithmetiaca esseries plurium numeroruse aequaliter superavitum, is
hic a Progressio naturalis mimae orum incipiens ab I. .
Progressio n merorum imparium incipiens ab I. .
Progressio numerorum pari si incipiens a r.
prostrεmo F R IMO enim harum trium progres utium . . s. dicitur progreso naturalis numerorum incipitile numero. ab I. in qua omnes numeri se ordine superat uniri iumqt' 'te . Aecmo vero dicitur progresso numeroris quid. imparium, incipiis ab I .in qua omnes numeri se ordine superant binario. rtia deniq; appellatum
progreso numerorum pariam , iηcipitCd et . qui
284쪽
primus numerus impar, atqhe adeo primus -- uum numerorum, licet improprie. In hac autem progressione numeroram parium omnes numeri se ordinesserant etiam binario, quemadmodum et tu progressione numerorum imparium. Eodem modo hic.
V P R I O se namque harum progressponum im' eipit a r. progredituri per 3. cum omnes numeriun ea se ordine-superent ternarior posterior Nerodncipit a q. progreditur , per eundem numerum 4. cum in ea omnes numeri se ordine superet qua
V . CO N T IN VATVR quaelibet progressio Arithmetica, si disserentia, excessusve numero illi addatur, post quem progresso extendenda est. Ut si progressio haec, 4. 9.Iq. t 9. 2q.conti manda siet, add aes disserentiam,sive excessum Irogressionis, nempe 3. quam quidem di feren tiam,excessumνe inueniemus,se primum progres sionis numerum a secundo , vel quemvis alium a proxime maiore in eadem progressionesubtraba- mus. P vltimo numero χ . est ciemus' 29. Huic iterum numero adiici εmus 3. componemus f 34.: er ita deinceps in i Unitum . Sic etiam , i quiis
Atithmeti Ca fgressio quia pacto coatinues. Differetia Pgressionis Arithmeti
285쪽
progressionem incipere velit 4 7. ct progredi per
erentiam, excessumve 6. a d η erunt 6. adt P. Vt fiant Is, pro fecundo numero progressionis; Item 6. ad I 3. virulit i'. pro tertist Oumem , creet, PA RI ratione progressio Arithmetica con inuatur retrocedendosi disserentia progregionis a minori e*tremo subducatur. Ut si progressio
b c Sς. 3T. 4. 31. I 8. continaanda sit νersus minores numeros, auferemus dissurentiam r. sis missori extremo ῖ Q. Vt relinqκantur Σ3. Ea his Arithmetis rursω sub cemus 7. H remaneant I 6. Ex his Itiori uel rursu subduc mus T. Nisupersimi 9. a quibus L initanu. rursus auferemus T. Ni superfnt a. a quibus am- plius auferri nequeunt r. ac propterea flicta pro
gresso amplius non potes decrescere. Sic etiam squis progresonem inchoare melit a qq. progreni per q. versui Nnitatem, aufereada erunt q
metica trιum numeros , νοῦ aggregatum extreeae itin nu- morum aquale sit duplo me j numeri, ut hic ap--φῆς μ 1 paretia. 14. 19. demoUraturi d Iordano lib. i. propos. 2. Proprieta, P RO G RE S S I O VI S vero Arithm h , .hius tim qRutuor numerorum proprium est, ut aggre- metieae gatum e tremorum aequale sit aggregato medio rata. rum; eluti bic apparet. Ir. ao. 2 8. demonstru
286쪽
solum verum en in quatuor numeris sese cotinudeodem numero superantibus, quales sunt numeri in dato exemplo sed etiam in quatuor, quae non cotinue 'superant eode numero, dummodo eade sit disserentia inter primum,ac secundum, qua inter
tertium,ac quartum; νt hic Nides. 4. I 2.3O. 3 S. E X his proprietatibus colligitur,in omui pro Proprietas gressione Arithmetica, cuius numerus xfrmino. ri en impar, aggregatu extremorum aequale es eae quotess- se cuilibet aggregato duorum numerorum P0 notu, si nalibet ab extremis aequaliter distantium, nec non duplo med3 numeri. Vt hic apparet. tit impar. 3.7. II. 11. 19. 23. 27. 3 1.3 3 39, 3.
cum enim quatuor bi numeri 3.7. 39. 43. bH eandem disseremiam,licet non continuatam Naeadem est disserentia inter s. ct 7. quae inter 39. O 3.ὶ erit, ea ijs, quae proxime diximus, avgregatum extremorum 9. 9 43.squale aggregato mediorum 39. Eadem ratione aggregatuo T. 39. Gquale erit aggregato ea ι 1. ct 3 1. quod hi quatuor numera T. ii. 3 s. 39. habeant eandem disserentiam, licet non continuatam: oe ., ita de reliquis, donec ad tres medios numeros i29.23.2 T.perueniamus; qui cum habeant eandedisserentiam, erit, per ea, qua paulo aute docui, mus, aggregatum extremorum i 9. 9 27 .aquale duplo medii numeri 1 3. Eadem e se ratio de omnibus aliis huius generis progressionibus .
287쪽
Pmprietas E X posteriore quoque proprietate escitur, Atiis,.I m omni progressione Arithmetica, cuius nume- ας quotcun rus terminorum est par , aggregatum extremoru Tἴ:: aquale esse cuilibet aggregato duorum numero-mc u ' quorum bet ab extremis aqualiter distangit par. rιum. Vt hic manifestum es.
Quod probabimus, ut prius πι dempto, quod postremo loco sumendi sunt qRatuor numeri me
hic non est unicin numexps medius, sed duo. NuncsequuntW reguis ad Arithmeticas progressones spectantes. R E G V L A LSI in qrauis progrcssione Arithmetica notus
fuerit numerus terminorum via cum minore, ct maiore extremo,perueniemus in cognitionem summa omnium terminorum, hac ratione. sam, istut Addatur primus terminus vltimo, ct aggregatacunq, pro- per numerum terminorum multiplicetur. Dimi,
Iti:,ὶ- dium eniis numeri producti erit summa omnium 2 quop ' termmorum.Vt in hac progressione.
288쪽
in ea progressione faciunt 9r. Huius numeri Δ-midium 1 6.estsemma omnium numerortim data progressionis. Eademque ratio est de caeteris. H AE c regula d nonnullis diuiditur in duo summa eumembra,hoc modo . Quando numerus terminora ivnnes par, multiplicant aggregatum ex p mo, O Arithmetivltimo termino per dimidium numeri terminoru: Si vero numerus terminor est impar, multipli inueniatulcant dimidium aggregati ex primo, ultimo termino quando enim numerus terminorum est impar, semper illud aggregatu est par 2 per numerum terminorum. Hac enim ratione semper pro
ducitur summa omnium numerorum progressonis. Vel hoc modo. Quando aggregatum ex pri mo, ct vltimo termino est par, multiplicant eius dimidium per numerum terminorum, pue is parset, siue impar. Si vero aggregatum illud est impar, multiplicant illud per dimidium ntimeri temminorum,qui numerus tunc semper par est. Ut insuperiori exemplo, quia numerus terminorum spar,nempe Iet. et quia aggregatum ex primo termino, vltimo est impar,videlicet i .multipli' cant illud per 6. dimidium nu eri terminorum, es iciunt , 'remam omnium numerorum 24 6. t prius. In his aute duabus progressionibu ,is qua ram priore numerus terminorum est par, nempolo. in posteriori impar, nempe II.quoniam agIregatum ex primo termino, Oritimo est par,ni
289쪽
mirum 42 an priore, 3 8 . in posteriore, multia plicant tam dimidium illius,nimirum M. per Io. numerum terminorum, quam dimidiu huius, quod es I9. per II. numerum terminoris, ut in priori essciantsummam a Io. O in posteriori 1o9. ILA TIO harum regularu Kaec est. Quoinia supra diximus, quando numerus terminorum est par, aggregatum extremorum aequale esse cuilibet aggregato duorum quorumlibet numeroru ab extreuis aequaliter distantium, fit, vi omnia M'. gregata simul sint tot, quot unitates sunt in dimidio numeri terminorum. Quare si unu aggregatum , nempe extremorum, multiplicetur per dimidium numeri terminorum, producetur sin a omnium aggregatorum. Rursusqria docuimus, quando numerra terminorum es impar, grega- extremorum esse aequale cuilibet aggregato duorum quorumlibet numeroram ab extremis aqualiter dinantium, necnon duplo medii numeri, fit, H medius numerus sit dimidium cuiuslibet aggregati. Ergo omnia aggregata simul, Ut cum medio numero, continebunt tot dimidia ratus aggregati, quot sunt termini. Si igitur dimidium misius aggregati,nempe extremorum, multiplicetur per numerum terminoru, producetur summa
I TA Q E, ut fides , satis est, ut cogno, scatur primus terminra,stritimra, via cum numero terminoru , ad elicietam summam totius progresonis,etiamsi intermedij termini ignorentur . auo pacto autem ex primo numero cognito,
290쪽
na cum numero terminorum,oe disserentia pro- Agresonis, stimus terminus inues eiuroquenti regula explicabim . Patile uim I N progressione alite naturali numerorum, risqua ab I .incipit mentetur breuissimesumma om 'nium terminorum,hoc modo. Multiplicetur vitiis naturalis
mus numerus f qin semper indicat numerum te minorum sper numerum proxime maiore. Huius Numerus
enim numeri producti dimidium elisumma om- z-ἴΛΑ,
nium terminorum. Ut hic. naturalis.
Ex multiplicatione ultimi numeri II .per I 2. numerum proxime maiorem producitur numerus 331. cuius dimidium 66. est summa totius progressionis. Sic etiam in hac progressione. Ex multiplicatione ultimi numeri 1 o.per II . merum proxime maior sit numeras IIo .cui dimidium s .es totius progressionissum .
I TA . L si quis velit summam progres
sionis naturalis,qua terminetur in qu is num ro dato,ut in Ioo. in qua nimirusint Ioo. termi ni, multiplicandus erit vltimus numerus datus , in quo progressio dicitur terminari, Ni hic num rus Ioo .per numeris lxime maiore, H lac p Io I. Nam producti numeri qui hic est i oim. dimidium, nempe oso. ia dato exemplo,erit summa.