장음표시 사용
291쪽
Alia inuen L II hanc etiam regula isirabunt in duo infria otii, membra,boc modo. Si νltimua numerus es par, natura tu multiplicant numerum proxime maiorem indisnu ς ψ diuvi νltimi numeri: Si vero est impar, multi' plicant eam in dimidium nameri proxime malo rἰs. Hac enim ratione semper producitur summa omnium numerorum progrestionis. Vt in posterioa.. . V ri progressione naturali, multiplicant II . nume rum proxime marorem ultimo numero per s. dis . iaci midium ritimi numeri, Dciunis 3 s.ssummam toluta , . rmi Tiares ionis, Ut prius. In priori autem pro- .in gressione naturali, multiplicant Ii.vltimum numerum per 6. dimidium numeri praetime maioris vltimo numero, esciunt i 6 6. summam toti progressionis, H prius.
Partieula. is inueti summae numero in impar umoi 2 progressione quoque numerorum imp rium, quae ab i. incipit, inuenietur facillimo nego 'tio summa omnium terminorum , si numerus ire minorum in seipsum multiplicetur,ri hic.
Ex multiplicatione numeri terminorum, Io. in seipsum procreatur numerus Io o. qui est summa totaras progressionis. E in. Q , Η ' β E T V R autem numerus terminor v. in ipgressio si Vltimo numero adbriatur i. O compositi nu- ita ita tia- imidium sumatur, ut in dato ea emplo, quo pacto addatur I. ad I s.fit numerus et o . cuius dimidia
Pςti xu eto. indicat numerum terminorum.
292쪽
tonis v trorum imparium, qua terminetur in quovis dato numero vi in 67. adde da erit unitastad ultimum numerum, in quo progressio terminari dicitur, ut hic ad 67. Nam compositi numeri qui bie eis 68.2 dimidium, nempe sq. in dato e amplo abit numerute diorum: qui inse mutiripticatus producet summam illius progressionis. ut in proposito exfmplo in quo ponuritur 3 q. termini,s multiplicetur numerus 3 . in se procreabitur summa illius progressionis It 36. Atque ita
de caeteris. I N progressione denique numerorum partu, Partieula. quae 2 1.incipit, nullo etia labore reperietur summa, se dimidium ultimi numeri, quo emper im mero u padicat numerum terminoram progressionis, s sem' πλε u. per enim tot sunt termini progressionis eiusmodi terminorinntimerorum parium, quot sunt νnitates in dimi' ne tame odio ultimi termini. multiplicetur per numerum rum p ta proxime maiorem illo dimidι0. Vt bici ne inuenia
Ex multiplicatione I 1. qui numerus est dimissisivit imi termini,Hi numerus tir minorum per i 3. numerum proxime madorem illo dimidio, fit nudi merus I 3 6. hoc est,summa omnium illorum numerorum parium.
I TM QIU E si quis velit sammam progres
sionis numeroru Parium, qua terminetur in quolibet dato numero ut in ioo. multiplicatas erit nu
293쪽
quo dicitum terminari progressio, ut numerus so. in dato exemplo, hic enim dimidis est ultimi numeri dati Ioo.9 per numerum proxime maior illa dimidio, ut hic per si . Productus exum numeru t 23 3 o. in dato exemplo, erit summa illius progressionis; numerus terminorum erit JO. in eodem exemplo,quot nimirum vnitates sum iu
dimidio mitimi numeri. Et sic de ali A. REGULA II.
VItitu' terminus euiuscunqrregionis mih
E. C I in quavis progressione Arithmetica notis αόά Derit ΠVmerus terminorum,una cum primo IlithmEu rermino, er disserentia progressionis, inueniemus
h. s.cie Vis λδ te militi,etiamsi intermedios terminos noea numero habeamus,boc modo. Ex numero terminoris abj-
una eu pii ς-ψtμ -Vero numerus per disserentiammo te ni iis multiplicetur,ac tande huic producto primus ter ἡVt m disciatur. Numerus enim compositus erit si essio , Niti S tcrminus. Ut si primus terminus alicuius p gressionis sit 3. numerus autem terminorusit io. disserentia 8. cognoscemus decimu ter minum,hoc est, ultimum huius progressionis siue intermediis, hac ratione. Ex Io.numero termenorum auferemus I. ct reliquum numera 9. multi plicabimus per 8 .disserentiam ρrogressionis νομducto tandem numero 7 2. ad ciemus 3. primum terminum. Compositus enim numerus 7 s. est decimus terminus progressionis, cuius primas terminus est 3. di ferentia 8.u veluti hic apparet, Mi omnes temuripuIunthr.
294쪽
ITA RV E si quis hanc quaestionem propo- QI ila bo Vira Herculi de numero bou, quos habe 'μ Λ με s- interroganti respossit, boues suos omnes per loca ΑΟ.ira esse dispositos,ur quoties in primo imco continetur 3 . boues, toties insecaido contineantur . in tertio toties 7. in quarto toties s. e c. Accessit Hercules ad primu locu, e r reperit bo- .ues 3 o. Ouot igitur boues habuit Augia et quot - , in ultimo locosuerus Voluenda erit hoc modo. Quinta in primo loco sunt decies 3. boues,er ut in secundo loco decies s. nimirum 3 o. ct in tertio decies 7.nepe Io. sic deinceps, ut sit progrese .sio qusdam Arithmetica, cuius primus terminus sit 3 o. disseretia vero χο. er numerus terminor ιιqo. Eliciedus ergo es primum ultimus terminus per proxima regula,hoc modo. Ex qo numero terminora abijciatur I .est reliquus numerus 3 9.per zo. disserentia multiplicetur, productos numero 7 8o .primas terminus so. adiiciatur. Fiet νltimus terminus, e quadragesimus, 8io.at quo tot boues fuerunt in ultimo loco. DEINDE Nero ex hoc ritimo termino in uento, exprimo dato,Nnὰ cu disseretia eruenda pprima regula summa totius progressionis, etiam si
nomhabeamus intermedios omnes terminos, hoc modo. Primus terminus 3O.νltimo termino 8 Io.. adijciatur, compositu , numerus 3 o. per 2 o. hoc en,per diraidium numeri terminorum, muia .riplicetur. Productus nam V numerus I 68oo. essumma totius progressionis, atque adeo numσ
295쪽
singulis locis fuerint,atq;adeo in ultimo loco'Use S i o.apposuimus hic totam progresonem.
SIMILIS erit quaestio, si quis ita dicat.
Imperator strentiis ducibus numero 1 o.distribuit pecuniam in direptione xrbis inuentam,hac lege, ut ei, qui ultimus murtim hostilem transcederat, daret Ioo. aur. penultima Iso. antepenultimoi ε o. ct ita deinceps eodem modo progrediendo is uuanta ergo fuit ea summa pecunia, quantu, qui primus murum transcendi accc I Si namque ex 2 .numero terminorum tot enim sunt termini in illa progressione, quot sunt duces.)a cras i. reliquum numerum I s. multiplices per 3 o. disserentia progresoni productoinumero 37o. adiicias primu numeru,nempe ioo. efficies 67o- pro ultimo progressionis terminoratq; tot aureos habuit primus dux. Invento autem ritimo termino, si ei addatur primus, nimirum ioci. ut fiant 7 7 o atque hic numerus per Io. dimidiura num ri terminorum multiplicetur,fiet siumma omnium terminorum 77oo. Tanta ergo fuit summa pecuniae distributa. Tota vero progressio ita se habet.
296쪽
'o GRESSIO Geometriin progressioca est series plurium numer rum se in eadem proportione superantium, ut hic apparet.
TRI MA enim harum progressonum progreditur per proportionem duplam, ita ut quiliabet numerus sit duplo maior eo numero, qui eum proxime praecedit; Secunda Nero per triplam, ita ut quilibet numerus sit triplo maior eo, qui proxime eum antecedit; atq; νtraque baru pro gressionum ab i. incipit; t rata denique per duplam etiam proportionem progreditur, non ta- . . men ab i. sed a 3. initium sumit. c o 2 r I Nυ T v R qtialibet pingres cremes, .sio Geomi trica ; si per denominatorem propora ea progractionis numerus ille, post qμem progresso ext --.bi: 'dendenda est, multiplicetur. Ut se progresso haec nuctui. proportionis triplae, q. I 2. 36. continuanda sit, multiplicabimus vltimum. ηumcmm s 6. per s.
297쪽
in I bphi denomissatorem proportioclis, quem quidem do Monis in P nominatorem inueniemus, sisecretam numerumceomelii. per primum diuida uta, vel quemvis alium per. i. ' pro ime minor m in eadem progremne.2 esei mus1 Io 8. Hunc iterum numerium per 3. MAstyplicafimra, producemus' qa . cr ita deinceps Ais in infinitum. Sic etiam, si quis progressionem incipere νelit a .ct progredi per proportione quin cuplam , euius denominator es s. multiplicandae mi T. per s. νt fiant 3 s. pro siecundo na ero progressionis. Item 3 s. peT F. Tt Lant 17s. pro
tertio numero GP AE R I ratione progressio Geometrica comtinuatur retrocedendo,si minus extrema per δε- nominatorem dividatur. Ut si progressio haec 6 . I 28. 2 s 6. III. continuaudast versus minorismmeros,cum denominator proporatoris sit et .di-mdemus 6q.per 2.faciemus i 32.quae rursium partiemur per 2.inueniemus 36. ct sc deinceps iii in illum. Vt in hoc exemplo apparet.
Proti essio nuquam erisfinis huius decrementi in progres . III fione Geometrica. Sic quoques quis progressiones eii in infi inchoare Nelit a I Oo. ct yrogredi versus unita . tem per proportionem sesquialteram,oω deno
PAN P RIVM es progressi a Geometri
298쪽
ea trium namerorum, ut numerus qui ex primo nummo in tertium producitur, aequalis sit nummo, qui ex medio fit in seipsum multiplicato. Ut hic a parer, 3. 9. 27. a monstrasurii ab Euclide lib. . propos. 2Ο. P RO G RES S IO NI S vero Geometrica quatuor numerorum proprium est,ri mimerus qui ex multiplicatione primi numeri in quartum' qualis sit nmmero, qui ex secundo in tertium procreatκr. Ut hic rides, 2. 6.i8. 4. demonstraturos ab Euclide lik7.propos I9. Atque hoc nosolum en in quatuor n eris continue proportionallibus, quales sunt quatuor numeri in dato ex eis plo, sed etiam in quatuor, qui non sunt continue proportionales, dummodo eadem sit proportio secundi ad primum, qua quarti ad tertium . Ut
Ex his proprietatibus colligitur,in omni progressione Geometrica, cuius numerus terminorum simpar,numerum, qui sit ex multiplicatione extremorum inter se,aeqvalim esse numero, qui ex multiplicatione duor&m nremerorum quommlibet ab , extremis aqualiter dictantium producitur, necnon numero , qui ex medio in seipsum sit. velati hic apparet. 3. 6.11.2 q. 48. 96. I92.384.768. cum enim quatuor hi numeri s. 6. 3 8 q. 7 68. beant eande proportione, licet non continua, erit, cx ijs, qua proxime diximus, numerus, qui sit ex . in
Geometriincae triu terminorum. Proprie progressionis Geometricae quatuor terminorum.
nta Geometricae quotcunq; ter minorv. si numerus tetminoi si
299쪽
3. in 768.aequalis ei, qui fit ex 6.in 38 . Eadem ratione numerus, qui fit ex 6.in 3 8 .aqMalis erit ei, qui ex i2. in I9 2.producitur, quod hi quatuor numeri 6.12. I92. Sq. eandem habeant pro omtionem, licet non continuatam; ct ita de reliquis, s plures sint, donec ad tres mediox 2 q. 48. 96. perueniamus;qui cum eandem habeant proportionem,erit, per ea, qua paulo ante docuimus, numerus productus ex primo in tert tum aequalis numero, qui ex medio in stips gignitur. Eadem' ra tio est de omnibus alijs huiusmodi progresionibus Geometricis.
ix: , EX posteriore quoque proprietate escitur,
Geomς m in omni propressione Geometrica, cuius numerus
is i. 'E . ne extremoru productum aequalem esse numero , minorum qui ex multiplicatione duorum quorumlibet nu-ε merorum ab extremis aequaliter distantium pro
ducitur.Ut hic mani sinum est.
suod probabimus, Ni prius, hoc dempto, q'od postremo se sumendi sunt quatuor numeri modi1 12. 24. 68. 96. non autem tres tantum , ut prius; quia hic non est Micus numerus medius, sed duo. Sequuntur iam regula ad progressiones Geometricospectantes.
300쪽
SI in quatiis progresione Geometrica notus fuerit denominator proportionis, νηὰ cuminore, ct maiore extremo, perueniemus in cognitione summae omnium t rminorum , hac rat ione. Detrahatur primus terminus ab ultimo, reli- ea quus numerus per m merum,qui νυνnitate mi s,essioni,nor sit, quam denominator, distriatur. Si enιm 'Quotienti ultimus terminus, Rue maius extre- cto inueismum adisciatur, componetur Iumma omnium ter R v minorum. Vt in hac progressione. 3. 2. 8. I92.768.3O71. I 2288.49I32.
Demptis 3 .ex q0I12. remanet 49Iq9. Et quo niam denominator proportionis quadruplae, qMahabent numeri data progresistonis, ef q. diuidemus 492q9.pcr 3. Quotienti a 6383. vltimum
terminum,sive maius eatremum q9i 1.adi cie
mus , conficiemu8μmmam totius progressionis ,ε1 13 s. Item hic.
Subtractis q. ex que . relinquuntur qI M. quae si diuidantur per. Es enim i denominator proportionis sesquialtera, quam habent num meri huius progressionis, ablata autem I. remanet -. siet Quoties 8 H. cui se addatur vltimus numerus diue maius exirmum qJ-