장음표시 사용
41쪽
ad Curvae Perimetrum altero extremo pertingat; ducta ergo A E axi parallela, si imaginemur lichi, ad confusionem vitandam , has aliquantulum dissitas figura ex primat J ordinatam B A veis nisse in situm , quam maxime intelligere possimus, e dem proximum, & iam congruere rectet C V: eius incrementu, aut decrementu V E erit disseretia infinith parva ordinatae B A, smiliterque arcus A v differentia erit infinith parva Cu
differentia infinith parva axis D B, nec non areola ABC v, duabus ordinatis infinith pr ximis intercepta, dicetur di L ferentia infinith parva areae D AB; manifestum enim est, posse concipi , ut tam prope accedant invicem ordinatae
B A , C U , ut ratio tam E V ad B A , quam CB ad BD , nec non V A ad A D, & spatii ABC Uad ADB, minor evadat quavis. proposita ratione assignabili; minuitur en in is e continuo accessu ordinatarum A B, C V, quaelibet ex
dictis quantitatibus E V, CB, V A, AB OV in infinitum,
ae tandem penitus evanescit, ubi utraque ordinata perinsecth congruit; quare prius oportet, ut minor fiat qualibet finita sui generis magnitudine assignabili, ideoque ad datum consequens rationem subinde acquirat, in hoc con tinuo fluxu, minorem qualibet assignabili. Similiter rotata curva DA V circa axem DC, ostenderetur, rotundae su. perficiei per curvae rotationem genitae differentiam , ab ar. cu A V infinith parvo procreatam, esse pariter infinith parvam : nec non rotundi solidi. portionem , planis per B A, SCV infinite. proximis aequid istanter ductis interceptam, iesset infinitε pariter exiguam , &c. Caeri Disitiros by le
42쪽
Caetersim hu pariter observandum est, nec magnitudines has infinith parvas concipi debere, velut determinatas, aut determinabiles quasdam portiones quantitatum, quae certam , & definitam parvitatem obtineant , quascumque enim portiunculas linearum , supeIficiem in , aut corporum s itidemque virtutum , celeritatum , angulorum &c. acceperimus, aut d gnaverimus, hae semper reipsa finitae erunt, non infinith parvae: itaque nCn sunt intra certos terminos, quantumvis prollim , coarctandae, sed concipiendς sunt ex una dumtaxat parte, ad summum, limitatae
ut CB fixum terminum habet in B, V A fixam originem habet in A, area B A V C adiacet fixae lineae AB, Et corpusculum, ex illius conversione circa B C descriptum, adhaeis rei fixo circulo radii B A ex altera vero parte fixum I, mitem non habentes, sed alteri extremo semper propius accedentem, ut continuo fluxu accedit punctum C ad B, R V ad Α, & CV ad B A, intervallo uitisque interposito, infra quamlibet assignabilem magnitudinem, perpetuo
decrescente. Aut etiam utrumque extremum sibi invicem
accedere concipi potest, ut puncta E, V sibi semper protiora fiunt, neutro fixam positionem servante, dum line a m E V infinith parvam intercipiunt. Unde hae magni tuis dines semper ut decrescentes, ac perpetuo diminuendae a cipi debent, ut suo, infra omnem assignabilem quantitatem, decremento, sub ratione infinith parvarum , si ve infinit
simarum partium intelligi possint. DEFINITIO TDuarum quarumlibes magnitudiuum si prima ad serendam babaerit raraonem majorem qualibes assignab1li , ariisque , eo mertendo , secanda ad pyrmam fis in minori ratioue, quam qua libet assignabilis, iscetur prima an sta respectuseeunda ve in re tres maior alia: seeuada veris infinite parma respectu prima, aut infinities minor eadem. D OCHO.
43쪽
SCHOL. Hoe modo etiam finitae magnitudines respectu quidem absoluth infinitarum erunt infinith parvae, at resis pectu earum , qnae sunt absoluth infinite parvae, erunt ipsae-met infinitae; Quare patet, nomina haec Inmiti, aut L
nrte par ut, relativa potius esse, quam absoluta , licti comis muni loquendi modo obsecundans, is De III. π IV. abis solute acceperim haec vocabula, quia tunc respectus saltem ad ordinarias finitas quanta tales subintelligebatur; quemadmodum etiam Magnum θ' Parvum termina sunt semia per ri lativi, sed quoties ad ordinariam, & magis communem alicujus generis mensuram referuntur, absoluth solent enunciara, magnus aut Parvus homo, magnus aut parvus
canis, magna vel parva domus, subintelligendo respectu hominis, canis, aut domus mediocris, & magis usitatae
Eiusdem Atrese ordinis , aut gradus inagmtodi ver fAM , eisin oram ratio eu assignaiatis: Cum verὸ bHus ad illam majον , t illi s ad bane minor es ratio, quam qualibet Hae ινυι,εune gradus, ant ordiris baec seperioris , alia ruferrerii dicetur
SCHOL. Hinc ex quantitatibus Insuith parvis, aut Ii finitis , vel Finitis, primae inferioris gradus sani respectu
caeterarum, secundae su ut ordinis super loris ad reliquas. tertiae superioris quidem gradus aut ordinis respectu priorum , at inferioris respectu secundarum: inter se aute ejusdem ordinis aut gradus esse constat finitas quaslibet magnitudines . M vero magnitudines omnes absoluth infinitς. vel infinith parvae semper ejusdem inteis. ordinis censendae sint, an potius da versi gradus in utroque hoc magnitudinum genere operiri queant, id in praesenti disquisitione det gelidum erit: Clarissimis viris Neo σσαο,Lesbαν io, utrique
44쪽
Zer6μliis , Hospitalio , Hermanso, ipsique etiam Varum' o a conflat divellitas ordinis in infinite exiguis, quippe fluxionum fluxiones, & differentiarum ci stilentias iecundas, tertias, quastas Sc. in Geometriam an veli e Iun I, ut ex ipsorum monumentis passim liquet 3 Ternar res antem
Ni instrais in sua Anah- In stoeram. non esse ultra primas differenrias progredientium , pluistius Contendit, adedisque infinith parvas magnitudines ad eundem semper oris dinem spectare arbitratur. Iisdem supra laudatis egregiis
Viris praeter Varignonium ti Nie enlytium I placuisse,
ut ordinis, S gradus diversitas erram Inter quantitates inrifinith magnas admitteretur, ex eo tum modis, & loquendi
formulis patet, ut o celebri Leibnitziichcto, Actor. In pag. 86. Et νη 1τι Ρην gra/us , tam infinitorum, quam in itera ἄν- , Idque V Vallisi praesertim exemplo iactum est, qui omn3um primus spatia Pirisam is ira in Hyperbolis altiorum graduum detexit: haec enim nihil aliud sunt, ut videbimus , quam 1nfinitae magnitudines supelioris ordinis , quae n mirum adhuc respectu quantitatum a Moline jam insultarum sunt infinitae , sive illis infinitim maiores, quemadmodum differentiae secundae, vel teitrae Lethnicii sunt quantitates infinite parvae ordinis anferioris, sive ininfinities minores ipsismet primis differentiis , quae jam absoluth erant infimth exigvq. Et sane, mirum est, Cl. Varignonium su monum. Mad. Ret anην Irofi hse V Vallisi spatia ρώμuam ἐν ita, velut contradictionem involuentia, reiicere, dum secundas, & tertias differentias, adeoque
partes ipsismet infinites mis insinith minores quε ρω quam infinitὸ ραν va dici possent i tam frequenter admittit, ubi
de viribus centralibus, de radiis osculi, aliisque similibus disserit. Enimvero, nonne ipsς finiis quantitates infinities continent primas differentias, & hq rursus infinities conistinent secundas, secundae autem tertias ρ ergo multitudo
secundarum differentiarum in ipsamet finita magnitudine Da est
45쪽
est plusquam infinita, & tertiarum differentiarum multitudo in ipsis infinitesimis primi ordinis plusquam infinita est infinities vero plusquam infinita in magnitudinibus finitis , ac multo magis in quantitatibus absoluth infinitis:
ad eb ut quaevis magnitulo si continet infinitas numer
primas differentias, utique contineat plusquam infinitas differentias secundas,& in altiori adhuc infinitati x gradu contineat differentias tertias; δἐ in muliti altiori quartas , atque ita deinceps. Quidquid id est, non abs re fuerit, hypothetice saltem, hoc vocabulum interim definire, ut cerista , & distincta controversε rei notio habeatur.
DEFINITIO UILSqua magnitudines in itier maiores ostendantur aliis metu studinibas iam absolute in itis , adesque ordinis superiorιs ad 0- sas prolentur, alia PLUSUUAM INFINITA. poterunt appellari. SCHOL. Hoc enim nomen , ipsis 1 VValisio quondam inditum , alii deinceps Clarissimi Geometrae retinuerunt, ut Renatus Franciscus S lusius, David Gregorius , Ioannes Craigius, & inter Gallos, quibuscum nunc instituitur di iaputatio, celeberrimus Marchio Hospitalius in Fractata Aουa
Fateor tamen , quod libet infinitum posse adhue plusquam ἐκ ipsis censeri, quia cum nullus sit minimus infiniti gradus, quolibet infinito proposio , semper aliud infinities minus reperiri potest , cuius respectu illud sit plusquam infinitum , ut constabit ex dicendis infra prop. xo , ubii semet asymptotico spatio hyperbolae Apollonianae cujus respectu V Vallisius altiores hyperbolax plusquam infinitas censuit aliam aream infinities minorem, lichi adhuc absoluth infinitam , invenimus, cujus respectu ipsemet Ordinaria hypei la spatium plusquam infinitum cum asym
46쪽
i ta k quam deerantia A-B posito nempe, quia A, j. ta aliquam viis bilam inaqualitatis ratronem, determinate sis major , qaam B J ejusdem pariter cum alterutra ipsarum es ordynis. Erit enim, ex de . 6 , A ad B in aliqua ratione assignabili , puta m ad ur quare & componendo AtB ad B, & dividendo Α-R ad B, erit in ratione pariter assignabi Ii, inta, vel m-πadu, ideoque, ex eadem definitisne, tam A t B, quam Α-B ejusdem cum B, vel A, est ordinis . moderat demonstrandum. COROLLARIUM. Hine finitum additum finito non facit infinitum: nec duae, vel tres partes infinith parvae finia tam magnitudinem aggregant: nec binae , vel aliquot infinitae quantitates ejusdem ordinis ullam magnitudinem plinquam infinitam supra talem ordinem efficiunt. PROPOSITIO ILPM quemlibet siritum numeram m quemis magnitudo A maiatipliceris, aut rividatur, tam protarum m A, quam quotieus
- , intra eundem ordinem eam ipso a eonsistet.
Nam , ex pracedenti, A t A l A t A &c. quoties libuerit, eiusdem semper cum ipso A est Oidinis; atqui multiplicatio, ut patet, non est nas quaedam repetita eiusdem quantitatis additio, ergo productum m A ejusdem ordinis erit cum ipso A. Simili ratione - , multiplicatum per m , in-
47쪽
tra eundem ordinem remanebit, sed tunc evadit ipsum Α, itaque - ejusdem est ordinis cum ipso A; quare &e. COROLL. H me non potest juxta finitum numerum to . ties sumi quantitas infinith parva , ut finitam quantitatem aliquando essiciat: idem dic de finita respectu in sinati, ac de qualibet infinita respectu plusquam infinitae: Idemque vicissim de divisione, ex qua numquam magnitudo ad Inferiorem ordinem deprimitur , dictum esto.
Esto siquidem minor, si fieri potest, puta eadem quae Iad - maiorem qu m o intelligendo per m quem lital nuis merum, quantumvis magnum , qui dividendo unitatem , e .ficiat seactionem - quantumlibet parvam ergo quia qst ut m ad x, ita I ad , erit ratio Α ad C eadem quae mad 3 , adeoque non major qualibet ingnabili, contra hypothesim; ratio igitur A ad C non minor est ratione x adct. Quod erat die. COROLL. l. Quaelibet magnitudo inserioris ordinis, totis lata magnitudini ordinis superioris, ut metum nihil, II omni rigore, aestimanda est; si enim illa ad istam compararet , ne aliquid majus nihilo ad unum quid piam, haec haberet ad illam rati mem minorem quam 1 ad o , cujus oppostum demonstravimus. R L. II. Et ideo nulla inferioris ordinis magnitu-tudo addita magnitudini ordinis superioris, vel ab eadem detracta , hanc auget, aut manuit, sed eIusdem quan-
48쪽
titatis relinquit, ad ipsam enim comparatur, ut nihil ad aliquid , unde sicut Ito, & r-o aequantur i , ita finit quantitas per infinite parvae additionem, aut subtracti nem, non crescit aut minuitur, nec quantitas infinita per accessum , aut recessum finitae quantitatis, nec etiam si quet sint γ plusquam infinitae magnitudines augentur, aut d curtantur per magnitudinem, absolutb quidem infinitam, sed ordinis inferioris , ac in universum, magnis Laes aqua. les eensenda Iant, qua magnitudine dumtaxat infinitiar minor. E erant, ut in libello Quadrat. Gre. ω spero. ad Coria prop. x . dudum ostendi , & in Scholio ibidem adjuncto generatim admonui . ad hunc ipsum tractatum respiciens,
quem vel ex tune adumbraveram.
PROPOSITIO M. O utitatam infinite parmarum, quadam sunt ejusdem ordionis , ct quamlibet inter si rationem alis Mum babem p ant. I. Sit primo triangu. Ium D B R, in quo DB aequetur B A , & huic parallela ducatur CV, ipsique propius accedere, atque infinith proxuma fieri intelligatur: quomodo tam BC sive A E illi xquidistans quam E U, infinith par
quippe ad finitas D B, aut B A rationem habere poterunt minorem qualibet astagnabui: semper tamen, ob similia triangula D B A , A E V, ei it BC, siue A E aequalis EU, ut DB aequalia B A pon batur. Quod si jam DB ad BF supponeretur habere aliam
49쪽
ouamlibet rationem, put, in ad a, juncta D F G, & ducta F H ipsi B C parallela, erit similiter infinite parva BC,
vel F Had infinith parvam H G in eadem ratione assignabili m ad ., quam habent ipsae DB, BF , quare in magnitudinibus infinith par. vis quet libet assignabilis ratio locum habere P test; Quod erat demon-
a. Sit iam lecunddcirca axem DB quaelibet curva D A V, & alia huic analoea D F G, cuius nempe ordinatae BF, CG ad ordinatas prioris B A, C V sint perpetuo in quavis constanti Tatione assignabili is adae. Si ergo, ut antea, fiant infinith proximae B A F, C V G, ti ductae sint axi parallelae R E, F H, Constat, ipsas ordinatarum differentias GH, E V fieri infinith parvas; & tamen comeadem si ratio assignabilis m ad n , tum integrae CG ad integram C V , tum B F , sive C Η ablatae ad ablatam B A seu CE, erit & reliquae G H ad reliquam V E assignabilis ea.dem ratio m ad n; inare &c. 3. Patet hinc tertio etiam trapetia figurae primae, seu quadrilinea figurae secundae, FB CG, ABCV, s quae pariter fiunt infinith parva, pro majori accessu linearum Bri
50쪽
CG futura semper in eadem ratione assignabili is ad n , quam perpetuo observant, in pari altitudine , quaelibet ipsorum ordinatae G G, CV: ergo &c. 4. Quin etiam quartδ, si eadem quadrilinea circa axem BC revolvi intelligantur, Orientur hinc trunci conici, seu conoidales, infinith parvi s nam pro majori accessu plano rum circularium , radiis B F, G G descriptorum, hi trunci assignabili quovis corpulculo minores evadenti& tamen semis per in ratione assignabili, nempe duplicata ipsius m ad v, sive dicas, ut mm ad nn , esse ostendentur, ob circulos ruibuslibet ipsorum quadrilineorum ordinatis FB, Α Β, ve CG, CV, descriptos, eorundem radiornm quadratis proportionales: itaque & in hoc magnitudinum gener vera est Propositi .
parvas pro m π1m33 sus gener1s babent, illasque e ut penitas rudimi ales, flete aer invicem aquales eonfiderant. Non flent quidem sarem. Μatbemat3cs in hune errorem eum mulgos ingere, nec desunt tamen exempla soadam, probantia id posse aliquando Viris erram .a hae arte, atque in bae ipsa metb do , versatissimis , per incogitantiam, excadere. Videat CI. Variagηomus f buset regula terre usu lsaras, quam ct totier ex
attentionem ab 'so impensam, quotres Vires Centrales examinam, aut Rarior Evolutaram inquaren , angulum contingentia, utpotὰ in ste parmam, assaemst melut qualem angulo e nrte parvo, ad centrum ostulantis circuli , a binis radiis insinue proximit tonsa tuto, indeque erisOgula Vocetia co derat, eandemque laterum ad basim proportiovem deduer . UsAantur Monum. Academ. Reg. edit. ΑMelidam. annI 1 oo Pag. 3. I Vanni 1IO 1 Pag. 27'